Um Curso de Cálculo, Volume 1
F.2 Relação de Ordem em ℝ
b) α = … 1
c) α = … 2
7. * 2 Seja A = { r | r ∈ ℚ , r > 0 e r < 2}. Determine a reunião de todos os
reais α, com α ∈ A. Verifique que tal reunião é um número real.
F.2 Relação de Ordem em ℝ
O símbolo ℝ será usado para indicar o conjunto dos números reais: ℝ = {α|α é número real}.
Definição. Sejam α e β dois números reais. De nimos
a) α ≤ β ⇔ α ⊂ β.
b) α < β ⇔ α ⊂ β e α ≠ β.
Deixamos a seu cargo verificar que, “≤” é uma relação de ordem sobre ℝ,
isto é, “≤” satisfaz as propriedades:
01) ∀α ∈ ℝ, α ≤ α.
02) ∀α, β ∈ ℝ, α ≤ β e β ≤ a ⇒ α = β.
03) ∀α, β, γ ∈ ℝ, β ≤ β e β ≤ γ ⇒ α ≤ γ.
Para provar (04), vamos precisar do
Lema. Se α é um número real e se x é um racional, com x ∉ α, então, p < x, para todo p ∈ α.
Demonstração
Suponhamos, por absurdo, que exista p ∈ α, com p ≥ x. Pela (R2), teríamos, então, que x ∈ α, contradição. Portanto, se x ∉ α, então p < x para todo p ∈ α.
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Este lema nos diz que todo racional x que não pertence ao real α, é uma
cota superior de α. Vamos, agora, demonstrar a seguinte propriedade.
Propriedade (04). Quaisquer que sejam α e β em ℝ , α ≤ β ou β ≤ α.
Demonstração
Quaisquer que sejam os reais α e β, α ⊂ β ou α ⊄ β.
Se α ⊂ β, então, α ≤ β.
Se α não está contido em β (α ⊄ β), então existe um racional x, com x ∈ α
e x ∉ β.
Como x ∉ β, segue do lema que p < x, para todo p ∈ β. Como x ∈ α e,
para todo p ∈ β, p < x, segue de (R2) que p ∈ α, para todo p ∈ β, isto é, β ⊂ α, ou seja, β ≤ α.