Um Curso de Cálculo, Volume 1
6.2 Logaritmo
g x –x ) f ( x ) = e + e
h –x ) g ( x ) = e sen x
i 1/x ) f ( x ) = e
j – 2 x ) g ( x ) = e
6.2 Logaritmo
Teorema. Sejam a > 0, a ≠ 1 e β > 0 dois reais quaisquer. Então existe um único γ real tal que
a γ = β.
Demonstração
Suponhamos, primeiro, a > 1. Como segue que
existem reais u e v, com u < v, tais que
a u v < β < a .
Como x f ( x ) = a é contínua no intervalo fechado [u, v], segue do teorema do
valor intermediário que existe γ em [u, v] tal que
f γ (γ) = β ou a = β.
A unicidade de γ segue do fato de f ser estritamente crescente. O caso 0 < a < 1 deixamos a seu cargo.
■
Sejam a > 0, a ≠ 1 e β > 0 dois reais quaisquer. O único número real γ tal
que
a γ = β
denomina-se logaritmo de β na base a e indica-se por γ = log β. Assim a
Observe: log β somente está definido para β > 0, a > 0 e a ≠ 1. a
Exemplo 1
Calcule.
Solução
Observação importante
a γ = β ⇔ γ = log β
a
assim
O logaritmo de β na base a é o expoente que se deve atribuir à base a para reproduzir β.
O logaritmo na base e é indicado por ln, assim, ln = log . Temos então e
y y = ln x ⇔ e = x.
Da observação acima, segue que, para todo x > 0,
Sejam a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, α > 0 e β > 0 reais quaisquer. São válidas
as seguintes propriedades:
(5) Se a > 1 e α < β, então log α < log β. a a
(6) Se 0 < a < 1 e α < β, então log α > log β. a a
Vamos demonstrar (1), e as demais ficam a seu cargo.
Demonstração de (1).
X X = log α ⇔ α = a
a
Y Y = log β ⇔ β = a
a
Assim, α X Y β = a a ; pela propriedade (1) das potências com expoentes
reais, X Y X + Y a a = a ; segue que
α X + Y β = a ou X + Y = log α β.
a
Portanto,
log α + log β = log α β. a a a
■
Seja a > 0, a ≠ 1. A função f dada por f(x) = log x, x > 0, denomina-se a
função logarítmica de base a.
A propriedade (5) conta-nos que se a > 1, a função logarítmica f(x) = log a
x, x > 0, é estritamente crescente. Da propriedade (6) segue que se 0 < a < 1, a função logarítmica f(x) = log x, x > 0, é estritamente decrescente. a
Exemplo 2
Esboce o gráfico
Solução
a) Domínio de f = {x ∊ ℝ | x > 0}.
b) D = ]0, +∞[. f
Exemplo 3
Suponha a > 1. Calcule e justifique.
Solução
Se o limite existir, deverá ser igual a +∞:
Justificação (por ε e δ)
Dado ε > 0, precisamos encontrar δ > 0 tal que x > δ ⇒ log x > ε. a
Tomando-se δ = ε a
x ε > δ ⇒ x > a ⇒ log x > ε.
a
Portanto,
b) Vamos mostrar que
De fato,
pois,
Deixamos a seu cargo a prova de que f(x) = log x é contínua. a
Exercícios 6.2
1. Calcule.
a) log 100 10
e) log 1 10
f) log (–5) 5
g) log 1 (a > 0 e a ≠ 1) a
h) log 243 3
2. Determine o domínio.
a) f(x) = log (x + 1) 2
b 2 ) g ( x ) = ln ( x – 1)
c) g(x) = ln (–x)
f) g(x) = log 3 x
3. Ache o domínio e esboce o gráfico.
a) f(x) = log x 3
b) g(x) = ln x
d) g(x) = ln (x – 1)
e) f(x) = ln (–x)
4. Calcule.