Um Curso de Cálculo, Volume 1
B.4 Demonstração do Teorema de Weierstrass
■
Teorema (de Weierstrass). Se f for contínua em [a, b], então existirão x e x em [a, b] 1 2
tais que f(x ) ≤ f(x) ≤ f(x ) para todo x em [a, b]. 1 2
Demonstração
Sendo f contínua em [a, b], f será limitada em [a, b], daí o conjunto
A = {f(x) | x ∈ [a, b]}
admitirá supremo e ínfimo. Sejam
M = sup{f(x) | x ∈ [a, b]}
e
m = inf{f(x) | x ∈ [a, b]}
Assim, para todo x em [a, b], m ≤ f(x) ≤ M.
Provaremos, a seguir, que M = f(x ) para algum x em [a, b]. Se 2 2
tivéssemos f(x) < M para todo x em [a, b], a função
seria contínua em [a, b], mas não limitada em [a, b], que é uma contradição (se g fosse limitada em [a, b], então existiria um β > 0 tal que, para todo x em [a, b]
e, portanto, para todo x em [a, b],
e assim M não seria supremo de A).
Segue que f(x) < M para todo x em [a, b] não pode ocorrer, logo
devemos ter M = f(x ) para algum x em [a, b]. Com raciocínio análogo, 2 2 prova-se que f(x ) = m para algum x , em [a, b]. 1 1
■
Observação. A ideia que nos levou a construir tal função g foi a seguinte: sendo M o supremo
dos f(x), por menor que seja r > 0, existirá x tal que M − r < f(x) < M; assim, a diferença M −
f(x) poderá se tornar tão pequena quanto se queira e, portanto, g (x) poderá se tornar tão
grande quanto se queira.
OceanofPDF.com