F.4 Propriedades da Adição

x = (x − u) + u, com x − u ∈ r* e u ∈ s*;

logo, x ∈ r* + s*.

Provamos assim, que

x ∈ (r + s)* ⇒ x ∈ r* + s*

logo

(r + s)* ⊂ r* + s*.

 

F.4 Propriedades da Adição

Nosso objetivo, nesta seção, é provar que a adição satisfaz as propriedades (A1), (A2), (A3), (A4) e (0A).

Para provar (A4), vamos precisar do

 

Lema. Sejam α um número real, u < 0 um racional e M o conjunto das cotas superiores de α. α

Nestas condições, existem p ∈ α, q ∈ M α , q ≠ mín M α (caso mín M α exista), tais que p − q

= u.

 

Demonstração

Estamos interessados em determinar p ∈ α, q ∈ M , q ≠ mín M , com p α α

− q = u.

Para isto tomemos um racional s ∉ α, com s ≠ mín M , e, para cada n ∈ α

ℕ, consideremos o racional q = nu + s. n

 

Seja, agora, o máximo dos naturais n para os quais q ∈ M e q ≠ n α n

mín M . α

Dois casos podem ocorrer:

 

■

Teorema. A adição satisfaz as propriedades:

A1) Associativa: ∀α, β, γ ∈ ℝ, α + (β + γ) = (α + β) + γ.

A2) Comutativa: ∀α, β ∈ ℝ, α + β = β + α.

A3) Existência de elemento neutro: ∀α ∈ ℝ, α + 0* = α.

A4) Existência de oposto: Para todo α ∈ ℝ, existe β ∈ ℝ com α + β = 0*.

0A) Compatibilidade da adição com α ordem: ∀α, β, γ ∈ ℝ, α ≤ β ⇒ α + γ ≤ β + γ.

 

Demonstração

 

A1) e (A2) ficam a seu cargo.

A3) Precisamos provar que α + 0* ⊂ α e α ⊂ α + 0*.

 

Lembramos que 0* = {u ∈ ℚ| u < 0}. Temos:

x ∈ α + 0* ⇔ x = a + u para algum a ∈ α e algum u < 0, u ∈ ℚ.

u < 0 ⇒ a + u < a ⇒ x < a ⇒ x ∈ α

portanto,

x ∈ α + 0* ⇒ x ∈ α.

Logo, α + 0* ⊂ α.

 

Precisamos provar que, se x ∈ α, então é possível fabricar um a ∈ α e um

u < 0 tal que x = a + u.

Então,

x ∈ α ⇒ ∃a ∈ α, com x < a, pois a não tem máximo.

x < a ⇒ x − a < 0.

Assim,

x = a + (x − α), com a ∈ α e x − a < 0,

logo, x ∈ α + 0*. Portanto,

α ⊂ α + 0*.

A4) Seja α um número real; de acordo com o Exercício 2-F.1,

β = { p ∈ ℚ| ∈ M e −p ≠ mín M } é um número real. Vamos provar que α α

α + β = 0*.

 

x ∈ α + β ⇒ x = a + b para algum a ∈ α e algum b ∈ β.

b ∈ β ⇒ −b > a ⇒ a + b < 0.

Assim,

x ∈ α + β ⇒ x ∈ 0*, ou seja, α + β ⊂ 0*.

 

Precisamos provar que, se x ∈ 0*, então x = a + b para algum a ∈ α e

algum b ∈ β.

Como x < 0, segue, do lema anterior, que existem a ∈ α e −b ∈ M , com α

−b ≠ mín M , tais que x = a − (−b); assim x = a + b com a ∈ α e b ∈ β. α

Portanto, 0* ⊂ α + β.

Provamos, assim, que, dado um real α, existe um real β tal que α + β = 0*;

provaremos mais adiante que tal β é único e será, então, denominado oposto de α e indicado por −α.

(0A) Sejam α, β, γ ∈ ℝ, com α ≤ β; vamos provar que a + γ ≤ β + γ. Temos:

x ∈ α + γ ⇒ x = a + c para algum a ∈ α e algum c ∈ γ.

Da hipótese, segue que a ∈ α ⇒ a ∈ β. (Lembre-se: α ≤ β ⇔ α ⊂ β.) Assim x = a + c para algum a ∈ β e algum c ∈ γ. Logo, x ∈ β + γ. Provamos, assim, que

α ≤ β ⇒ α + γ ⊂ β + γ ⇒ α + γ ≤ β + γ.

■

 

Teorema (Unicidade do oposto).

Se α + β = 0* e α + γ = 0*, então β = γ.

 

Demonstração

 

β = 0* + β = (γ + α) + β = γ + (α + β) = γ + 0* = γ.

■

 

Teorema (Unicidade do elemento neutro).

Se α + γ = α para todo α ∈ ℝ, então γ = 0*.