7.15 Velocidade e Aceleração. Taxa de Variação

2. 2 Seja A = l , l > 0.

a) Calcule a diferencial.

b) Interprete geometricamente o erro que se comete na aproximação de ΔA

por 2 dA . (Olhe para A = l como a fórmula para o cálculo da área do quadrado de lado l.)

 

3. Seja

a) Calcule a diferencial.

b) Interprete geometricamente dV. (Lembre-se de que V é o volume da

esfera de raio 2 r e que 4π r é a área da superfície esférica de raio r.)

 

4. 2 Seja y = x + 3x.

a) Calcule a diferencial.

b) Calcule o erro que se comete na aproximação de Δy por dy. Interprete

graficamente.

 

7.15 Velocidade e Aceleração. Taxa de Variação

Suponhamos que uma partícula se desloca sobre o eixo x com função de posição x = f(t). Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a posição ocupada pela partícula na reta. A velocidade média da partícula entre os instantes t e t + Δt é definida pelo quociente em que Δx =

f(t + Δt) − f(t) é o deslocamento da partícula entre os instantes t e t + Δt. A velocidade da partícula no instante t é definida como em que a derivada (caso exista) de f em t, isto é:

Assim, pela definição de derivada,

 

A aceleração no instante t é definida como em que a derivada em t da

função v = v(t):

 

Pela definição de derivada,

 

O quociente é a aceleração média entre os instantes t e t +

Δt.

Exemplo 1

Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a

posição 2 x é dada por x = t , t ≥ 0, em que x é dado em metros e t em

segundos.

a) Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes t = 0, t =

1 e t = 2.

b) Qual a velocidade no instante t?

c) Qual a aceleração no instante t?

d) Esboce o gráfico da função de posição.

Solução

a 2 ( t ) = 2 (m/s )

 

A aceleração é constante e igual a 2.

 

Exemplo 2

Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a

posição x é dada por x = cos 3t, t ≥ 0. Suponha x dado em metros e t em

segundos.

a) Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes

 

b) Qual a velocidade no instante t?

c) Qual a aceleração no instante t?

d) Esboce o gráfico da função de posição.

Solução

 

A partícula executa um movimento de “vaivém” entre as posições −1

e 1.

 

Observe que a aceleração é proporcional à posição, com coeficiente de proporcionalidade

 

Exemplo 3

Um ponto move-se ao longo do gráfico de 2 y = x + 1 de tal modo que a

sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3 (cm/s). Qual é,

quando x = 4 (cm), a velocidade da ordenada y?

Solução

Façamos, por um momento, x = g(t) e seja t o instante em que x = 4, 0

isto é, g(t ) = 4. O que se quer então é a velocidade da abscissa y no 0

instante 2 t , ou seja, Como y = x + 1, pela regra da cadeia,

0

 

Como Como x = 4 para t = t , resulta 0

 

Deste modo, para x = 4, a velocidade da ordenada y será 24 (cm/s).

Seja a função é a taxa média de

variação de f entre x e x + Δx. A derivada de f, em x, é também

denominada taxa de variação de f, em x. Referirnos-emos a como a

taxa de variação de y em relação a x.

Seja Δy = f(x + Δx) − f(x); para Δx suficientemente pequeno

Δy ≅ f′(x) Δx.

Assim, para Δx suficientemente pequeno, a variação Δy em y é

aproximadamente f′(x) vezes a variação Δx em x.

 

Exemplo 4

O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante

de 5 (m/s). Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante

em que r = 2 (m)?

Solução

Seja t o instante em que r = 2. Queremos calcular Sabemos 0

que Pela regra da cadeia

 

Para 3 t = t , r = 2; logo, = 80π(m /s). No instante em que r

0

= 2, o volume estará variando a uma taxa de 80π(m 3 /s).

 

Exemplo 5

Um ponto 2 2 P move-se sobre a elipse 4 x + y = 1. Sabe-se que as

coordenadas x(t) e y(t) de P são funções definidas e deriváveis em um

intervalo I. Verifique que

 

em todo t ∈ I, com y(t) ≠ 0.

Solução

e, portanto,

 

em todo t ∈ I, com y(t) ≠ 0.

 

Exemplo 6

A função a x = f ( t ), t ∈ I , é derivável até a 2 ordem no intervalo aberto I

e seu gráfico tem o seguinte aspecto

 

O que é mais razoável esperar que ocorra: f′′(t) < 0 em I ou f′′(t) ≥ 0

em I?

Solução

Vamos pensar cinematicamente. À medida que o tempo aumenta, a

partícula, em intervalos de tempos iguais, percorre espaços cada vez

maiores, o que significa que a velocidade está aumentando, logo, é

razoável esperar que a aceleração seja positiva em I, ou seja, f′′(t) ≥ 0 em

I.

 

Exercícios 7.15

 

1. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = 3 + 2t

− 2 t , t ≥ 0.

a) Qual a velocidade no instante t?

b) Qual a aceleração no instante t?

c) Estude a variação do sinal de v(t).

d) Esboce o gráfico da função de posição.

2. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição

 

a) Determine a velocidade no instante t.

b) Qual a aceleração no instante t?

c) Esboce o gráfico da função de posição.

 

3. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x depende do

tempo de acordo com a equação 3 2 x = − t + 3 t , t ≥ 0.

a) Estude o sinal de v(t).

b) Estude o sinal de a(t).

 

d 3 2 ) Esboce o gráfico da função x = − t + 3 t , t ≥ 0.

 

4. Seja Como

você acha que deve ser o gráfico de f ? Por quê?

 

5. a A função x = f ( t ), t ∈ I , é derivável até a 2 ordem no intervalo aberto I e

seu gráfico tem o seguinte aspecto

O que é mais razoável esperar que ocorra: f′′(t) ≤ 0 ou f′′(t) > 0 em I? Por quê?

 

 

6. Seja x = f(t), t ≥ 0, tal que f(0) = 1 e f(1) = 2. Suponha, ainda, que > 0

para t ≥ 0; Como você acha

que deve ser o gráfico de f ? Por quê?

 

7. 3 2 Seja f ( t ) = t + 3 t .

a) Estude o sinal de f′(t).

b) Estude o sinal de f′′(t).

 

d) Utilizando as informações acima, esboce o gráfico de f.

 

a) Estude o sinal de f′(t).

b) Estude o sinal de f′′(t).

 

d) Utilizando as informações acima, esboce o gráfico de f.

 

9. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o

tempo segundo a equação em que v e k são 0 constantes estritamente positivas.

a) Qual a velocidade no instante t?

b) Com argumentos físicos, justifique a afirmação: “a função é

estritamente crescente.”

c) Qual a aceleração no instante t?

d) Com argumentos físicos, justifique a afirmação: “o gráfico da função

tem a concavidade voltada para baixo.”

 

f) Esboce o gráfico da função.

 

10. A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do

eixo –t x é x = e sen t, t ≥ 0.

a) Determine a velocidade e a aceleração no instante t.

c) Esboce o gráfico da função.

 

d) Interprete tal movimento.

 

11. 2 Um ponto P move-se sobre a parábola y = 3 x − 2x. Suponha que as

coordenadas x(t) e y(t) de P são deriváveis e que ≠ 0. Pergunta-se: em

que ponto da parábola a velocidade da ordenada y de P é o triplo da velocidade da abscissa x de P?

 

12. Um ponto P move-se ao longo do gráfico de de tal modo que a

sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 5 (m/s). Qual a velocidade de y no instante em que x = 10 m?

13. Um ponto desloca-se sobre a hipérbole xy = 4 de tal modo que a

velocidade de y é = β, β constante. Mostre que a aceleração da abscissa

x é =

 

14. 2 2 Um ponto move-se ao longo da elipse x + 4 y = 1. A abscissa x está

variando a uma velocidade = sen 4t. Mostre que

 

15. 2 2 Um ponto move-se sobre a semicircunferência x + y = 5, y ≥ 0.

Suponha > 0. Determine o ponto da curva em que a velocidade de y

seja o dobro da de x.

 

16. Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a extremidade

inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante

de 2 (m/s), com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?

 

17. Suponha que os comprimentos dos segmentos AB e OB sejam,

respectivamente, 5 cm e 3 cm. Suponha, ainda, que θ esteja variando a uma taxa constante de rad/s. Determine a velocidade de A, quando

rad.

 

18. Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água

a uma taxa de 0,1 m 3 /s. O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10 m. Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h = 5 m.

19. O ponto P = (x, y) está fixo à roda de raio 1 m, que rola, sem

escorregamento, sobre o eixo x. O ângulo θ está variando a uma taxa constante de 1 rad/s. Expresse as velocidades da abscissa e da ordenada de P em função de θ.

 

20. 2 Um ponto P move-se sobre a parábola y = x, x > 0 e y > 0. A abscissa x

está variando com uma aceleração que, em cada instante, é o dobro do quadrado da velocidade da ordenada y. Mostre que a ordenada está variando com aceleração nula.

 

21. Dois pontos P e Q deslocam-se, respectivamente, nos eixos x e y de modo

que a soma das distâncias de P a R e de R a Q mantém-se constante e igual a e durante o movimento, em que R = (0, h) é um ponto fixo. (Veja a figura a seguir.)