Um Curso de Cálculo, Volume 1
13.5 Comprimento de Gráfico de Função
Seja y = f(x) com derivada contínua em [a, b] e seja P : a = x < x < x < … 0 1 2 < x = b uma partição de [a, b]. Indicando por L (P) o comprimento da n
poligonal de vértices P = (x , f(x )), i = 1, 2, … n, temos i i i
em que é o comprimento do lado de
vértices P e P . Pelo teorema do valor médio, para cada i, i = 1, 2, … n, i − 1 i
existe c , x < c < x , tal que i i − 1 i i
f(x ) − f(x ) = f′(c ) Δx , em que Δx = x − x . i i − 1 i i i i i − 1
Segue que
Daí, para máx Δx tendendo a zero, L(P) tenderá para . Nada i
mais natural, então, do que definir o comprimento do gráfico de f, ou da curva y = f(x), por
Nosso objetivo a seguir é interpretar geometricamente a diferencial
dx. Seja, então, s = s (x), x ∈ [a, b], o comprimento do trecho do
gráfico de extremidades (a, f(a)) e (x, f(x)). Sejam Δs e Δy as variações em s e y correspondentes à variação dx em x, com dx > 0. Para dx suficientemente pequeno, Δy ≈ dy e
Δ 2 2 2 s ≈ d x + Δ y, ou seja,
Exemplo
Calcule o comprimento da curva y = , 0 ≤ x ≤ 1.
Solução
De , segue que o comprimento é: . Fazendo a
mudança de variável x = tg u, vem
De (verifique), resulta
Exercícios 13.5
1. Calcule o comprimento do gráfico da função dada.
a)
b)
c) y = ln x, 1 ≤ x ≤ e
d)
e)
f x ) y = e , 0 ≤ x ≤ 1