1 Números Reais

O objetivo deste capítulo é a apresentação das principais propriedades dos números reais. Não nos preocuparemos aqui com a definição de número real, que é deixada para o Apêndice F. No que segue, admitiremos a familiaridade do leitor com as propriedades dos números naturais, inteiros e racionais. Mesmo admitindo tal familiaridade, gostaríamos de falar rapidamente sobre os números racionais. É o que faremos a seguir.

 

1.1 Os Números Racionais

Os números racionais são os números da forma , sendo a e b inteiros e b ≠

0; o conjunto dos números racionais é indicado por Q, assim:

 

no qual ℤ indica o conjunto dos números inteiros:

ℤ = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.

Indicamos, ainda, por ℕ o conjunto dos números naturais:

ℕ = {0, 1, 2, 3, …}.

Observamos que ℕ é subconjunto de ℤ, que, por sua vez, é subconjunto de ℚ; isto é, todo número natural é também número inteiro, e todo inteiro é também número racional.

Sejam dois racionais quaisquer. A soma e o produto destes

racionais são obtidos da seguinte forma:

 

A operação que a cada par de números racionais associa a sua soma

denomina-se adição, e a que associa o produto denomina-se multiplicação.

O número racional se diz positivo se a · b ∈ ℕ; se a · b ∈ ℕ e a ≠ 0,

então se diz estritamente positivo.

Sejam r e s dois racionais; dizemos que r é estritamente menor que s

(ou que s é estritamente maior que r) e escrevemos r < s (respectivamente s > r) se existe um racional t estritamente positivo tal que s = r + t. A notação r ≤ s (leia: r menor ou igual a s ou simplesmente r menor que s) é usada para indicar a afirmação “r < s ou r = s”. A notação r ≥ s (leia: r maior ou igual a s ou simplesmente r maior que s) é equivalente a s ≤ r. Observe que r positivo equivale a r ≥ 0. Se r ≤ 0, dizemos que r é negativo.

A quádrupla ( ℚ, +, ·, ≤) satisfaz as seguintes propriedades (x, y, z são

racionais quaisquer):

Associativa

(A1) (x + y) + z = x + (y + (M1) (xy) z = x (yz)

z)

Comutativa

(A2) x + y = y + x (M2) xy = yx

Existência de elemento neutro

(A3) x + 0 = x (M3) x · 1 = x (1 ≠ 0)

Existência de oposto

(A4) Para todo racional x existe um único racional y tal que x + y = 0. Tal

y denomina-se oposto de x e indica-se por –x. Assim, x + (–x) = 0. Existência de inverso

(M4) Para todo racional x ≠ 0 existe um único racional y tal que x · y = 1.

Tal –1 y denomina-se inverso de x e indica-se por x ou . Assim, x ·

x –1 = 1.

Distributiva da multiplicação em relação à adição

(D) x(y + z) = xy + xz.

Reflexiva

(O1) x ≤ x.

Antissimétrica

(O2) x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y

(leia-se: se x ≤ y e y ≤ x, então x = y ou x ≤ y e y ≤ x implica x = y). Transitiva

(O3) x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z.

Quaisquer que sejam os racionais x e y

(O4) x ≤ y ou y ≤ x.

Compatibilidade da ordem com a adição

(OA) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z.

(Somando-se a ambos os membros de uma desigualdade um mesmo

número, o sentido da desigualdade se mantém.) Compatibilidade da ordem com a multiplicação

(OM) x ≤ y e 0 ≤ z ⇒ x z ≤ y z.

(Multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, o sentido da desigualdade se mantém.)

 

Observação. Seja um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos e suponhamos

que em estejam de nidas duas operações indicadas por + e ·; se a terna ( , +, ·) satis zer

as propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4) e (D), diremos que ( , +, ·) é um corpo. Se, além

disso, em estiver de nida uma relação (≤) de modo que a quádrupla ( , +, ·, ≤) satisfaça

todas as 15 propriedades anteriormente listadas, então diremos que ( , +, ·, ≤) é um corpo

ordenado. Segue que (ℚ, +, ·, ≤) é um corpo ordenado; entretanto, (ℤ, +, ·, ≤) não é corpo

ordenado, pois (M4) não se veri ca.

 

Os números racionais podem ser representados geometricamente por

pontos de uma reta. Para isto, escolhem-se dois pontos distintos da reta, um representando o 0 e o outro o 1. Tomando-se o segmento de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, marcam-se os representantes dos demais números racionais.

 

Se o ponto P for o representante do número racional r, diremos que r é a abscissa de P. Na figura acima, é a abscissa de A; 5 é a abscissa de B.

Todo número racional r é abscissa de um ponto da reta; entretanto, nem

todo ponto da reta tem abscissa racional. Antes de construir um ponto da reta que não tem abscissa racional, vejamos os seguintes exemplos.

Exemplo 1

Seja 2 a um número inteiro. Prove: (i) se a for ímpar, então a também

será ímpar; (ii) se 2 a for par, então a também será par.

Solução

(i) Como a é ímpar, a é da forma a = –k + 1, k inteiro. Então:

a 2 2 2 2 = (2 k + 1) = 4 k + 4 k + 1 = 2(2 k + 2k) + 1;

como 2 2 2 k + 2 k é inteiro, resulta a ímpar.

(ii) Por hipótese, 2 2 a é par; se a fosse ímpar, por (i), teríamos a

também ímpar, que contraria a hipótese. Assim,

a 2 par ⇒ a par.

 

Exemplo 2

A equação 2 x = 2 não admite solução em ℚ.

Solução

De fato, suponhamos, por absurdo, que exista uma fração irredutível

então: