Um Curso de Cálculo, Volume 1
9.8 Máximo e Mínimo de Função Contínua em Intervalo Fechado
c) Prove que f é estritamente crescente em ]−r, r].
9.8 Máximo e Mínimo de Função Contínua em Intervalo
Fechado
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. O teorema de Weierstrass (veja Cap. 5) garante-nos que f assume em [a, b] valor máximo e valor mínimo. Vamos descrever, a seguir, um processo bastante interessante para determinar os valores máximos e mínimos de f em [a, b]. Suponhamos f derivável em ] a, b[. Seja f(p) o valor máximo de f em [a, b]; deste modo, p ou é extremidade de [a, b] ou p ∈ ] a, b[; se p ∈ ] a, b[, pelo teorema 1 da seção anterior, f′(p) = 0. Segue que, para se obter o valor máximo de f em [a, b], é suficiente comparar os valores que f assume nas extremidades de [a, b] com os assumidos nos pontos críticos que pertencem a ] a, b[. O valor máximo de f em [a, b] será então o maior desses valores. Evidentemente, o valor mínimo de f em [a, b] será o menor daqueles valores.
Deixamos a seu cargo descrever um processo para se determinar os valores
máximos e mínimos de f em [a, b], no caso em que f é contínua no intervalo fechado [a, b] e não derivável em apenas um número finito de pontos de [a, b].
Exercícios 9.8
Determine os valores máximos e mínimos (caso existam) da função dada,
no intervalo dado.
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