Um Curso de Cálculo, Volume 1
3.6 Teorema do Confronto
Teorema (do confronto). Sejam f, g, h três funções e suponhamos que exista r > 0 tal que
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
para 0 < | x – p | < r. Nestas condições, se
então
Demonstração
(Veja Seção 3.9.)
Exemplo 1
Seja f uma função e suponha que para todo x
a) Calcule, caso exista,
b) f é contínua em 0? Por quê?
Solução
a 2 2 2 ) | f ( x )| ≤ x ⇔ – x ≤ f ( x ) ≤ x .
Como segue do teorema do confronto que
b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se f(0) = 0. Pela hipótese, | f(x
| ≤ 2 x para todo x, logo, ≤ 0 e, portanto, f(0) = 0. Assim,
ou seja, f é contínua em 0.
O próximo exemplo nos diz que se f tiver limite 0 em p e se g for limitada,
então o produto f · g terá limite 0 em p.
Exemplo 2
Sejam f e g duas funções com mesmo domínio A tais que e
| g(x)| ≤ M para todo x em A, em que M > 0 é um número real fixo. Prove
que 1. Seja f uma função definida em ℝ tal que, para todo x ≠ 1,
Solução
para todo x em A. Daí, para todo x em A
De segue que
Pelo teorema do confronto
Exemplo 3
Calcule em que
Solução
como não existe (verifique) não podemos aplicar a
propriedade relativa a limite de um produto de funções. Entretanto, como
g é limitada, (| g(x)| ≤ 1 para todo x) e pelo exemplo anterior
Exercícios 3.6
Calcule e justifique.
2. Seja f definida em ℝ e tal que, para todo x, Calcule
e justifique.
3. 4 Suponha que, para todo x , | g ( x ) | ≤ x . Calcule
4. a) Verifique que não existe.
b) Calcule, caso exista, . (Justifique.)
5. Calcule, caso exista, em que f é dada por
6. 4 Sejam f e g duas funções definidas em ℝ e tais que, para todo x , [ g ( x )] +
[ 4 f ( x )] = 4. Calcule e justifique.
7. Seja f definida em ℝ e suponha que existe M > 0 tal que, para todo x, | f(x)
– 2 f ( p ) | ≤ M | x – p | .
a) Mostre que f é contínua em p.
b) Calcule, caso exista,
8. 2 Sejam a , b , c reais fixos e suponha que, para todo x , | a + bx + cx | ≤ | x
| 3 . Prove que a = b = c = 0.