Um Curso de Cálculo, Volume 1
13.8 Comprimento de Curva em Coordenadas Polares
Consideremos a curva dada em coordenadas polares por
ρ = ρ (θ), α ≤ θ ≤ β,
sendo a função suposta de classe 1 C no intervalo [α, β]. Em coordenadas paramétricas, esta curva se escreve da seguinte forma
x = ρ (θ) cos θ e y = ρ(θ) sen θ, α ≤ θ ≤ β.
Utilizando a fórmula de comprimento de curva em forma paramétrica
(observe que aqui o parâmetro t está sendo substituído pelo parâmetro θ), temos
De e , resulta
Assim, o comprimento da curva ρ = ρ (θ), α ≤ θ ≤ β, em coordenadas polares, é
Nosso objetivo a seguir é interpretar geometricamente a diferencial
dθ. Seja, então, s = s (θ), θ ∈ [α, β], o comprimento do
trecho da curva de extremidades (α, ρ (α)) e P = (θ, ρ (θ)). Sejam Δs e Δρ as variações em s e ρ correspondentes à variação dθ, em θ, com dθ > 0. O comprimento do arco (de circunferência) PM de abertura dθ e raio ρ = ρ (θ) é ρ dθ; por outro lado, o comprimento do segmento MN é Δρ. Para dθ suficientemente pequeno, Δρ ≈ dρ, PMN é quase um triângulo retângulo e
Exemplo
Calcule o comprimento da curva ρ = sen θ, 0 ≤ θ ≤ π, em coordenadas
polares.
Solução
De ρ = sen θ, segue = cos θ. Daí