3 Limite e Continuidade

3.1 Introdução

Neste capítulo, vamos introduzir dois dos conceitos delicados do cálculo: os conceitos de continuidade e de limite.

Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seu domínio é uma

função cujo gráfico não apresenta “salto” em p.

O gráfico de f não apresenta “salto” em p: f é contínua em p. Observe que à

medida que x se aproxima de p, quer pela direita ou pela esquerda, os valores f(x) se aproximam de f(p); e quanto mais próximo x estiver de p, mais próximo estará f(x) de f(p). O mesmo não acontece com a função g em p: em p o gráfico de g apresenta “salto”, g não é contínua em p.

Na próxima seção, tornaremos rigoroso o conceito de continuidade aqui

introduzido de forma intuitiva.

Exemplo 1

Consideremos as funções f e g dadas por

Vemos, intuitivamente, que f é contínua em todo p de seu domínio. Por

sua vez, g não é contínua em p = 1, mas é contínua em todo p ≠ 1.

 

Intuitivamente, dizer que o limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L

que, simbolicamente, se escreve

 

significa que quando x tende a p, f(x) tende a L.

 

Exemplo 2

Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule

Solução

Exemplo 3

Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule

Solução

Seja f não está definida em x = 1.

Para x ≠ 1

Intuitivamente, é razoável esperar que se f estiver definida em p e for

contínua em p, então, e reciprocamente. Veremos que isto

realmente acontece, isto é, se f estiver definida em p

 

Veremos, ainda, que se e se f não for contínua em p, então L

será aquele valor que f deveria ter em p para ser contínua neste ponto.

 

Com toda certeza

é o limite mais importante que ocorre na matemática, e seu valor, quando existe, é indicado por f′(p) (leia: f linha de p) e é denominado derivada de f em p:

 

 

Este limite aparece de forma natural quando se procura definir reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). O quociente chamado às

vezes de razão incremental, nada mais é do que o coeficiente angular da reta s que passa pelos pontos M = (p, f(p)) e N = (p + h, f(p + h)) do gráfico de y = f(x)

 

Observe que a equação da reta s é

y – f(p) = m (x – p) s

em que Quando h tende a zero, o ponto N vai se

aproximando cada vez mais de M, e a reta s vai tendendo para a posição da reta T de equação

y – f(p) = f′(p) (x – p).

A reta T é denominada reta tangente ao gráfico de f, no ponto (p, f(p)).

NOTA HISTÓRICA. Por volta de 1630, Pierre de Fermat (1601-1665) estabeleceu dois métodos: um para se determinar o coeficiente angular da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico de uma função polinomial e o outro para se determinar os candidatos a pontos de máximo ou de mínimo (locais) de uma tal função. Pois bem, a ideia que acabamos de utilizar para definir reta tangente é essencialmente a mesma utilizada por Fermat. Por outro lado, para Fermat os candidatos a pontos de máximo ou de mínimo (locais) nada mais eram do que as raízes da equação f′(x) = 0. (Veja História da Matemática, p. 255, de Carl Benjamin Boyer, editoras Edgard Blücher Ltda. e Universidade de São Paulo.)

Exemplo 4

Seja 2 f ( x ) = x . Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule f′(1).

Solução

O que queremos aqui é calcular f′(p), com p = 1.

 

Temos

 

Segue que

Exemplo 5

Seja 2 f ( x ) = x . Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule f′(x).

Solução

 

Temos

 

Segue que

 

Ou seja, a derivada, em 2 x , de f ( x ) = x é f′(x) = 2x.

 

Como veremos, outro modo de expressar f′(p) é através do limite

 

(Observe: fazendo x – p = h recaímos no limite anterior.)

Exemplo 6

Seja 3 f ( x ) = x . Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule f′(2).

Solução

Temos

 

(Lembre-se: 3 3 2 2 a – b = ( a – b )( a + ab + b ).)

Assim,

 

A derivada é um limite. Então, para podermos estudar suas propriedades,

precisamos antes estudar as propriedades do limite. É o que faremos a seguir.

Antes de passar à próxima seção, queremos destacar as funções de uma

variável real que vão interessar ao curso; tais funções são aquelas que têm por domínio um intervalo ou uma reunião de intervalos. Portanto, de agora em diante, sempre que nos referirmos a uma função de uma variável real e nada mencionarmos sobre seu domínio, ficará implícito que o mesmo ou é um intervalo ou uma reunião de intervalos.

 

Exercícios 3.1

 

1. Esboce o gráfico da função dada e, utilizando a ideia intuitiva de função

contínua, determine os pontos em que a função deverá ser contínua.

a) f(x) = 2

b) f(x) = x + 1

c 2 ) f ( x ) = x

f 2 ) f ( x ) = x + 2

 

 

2. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule

 

3. Esboce o gráfico de Utilizando a ideia intuitiva de limite,

calcule

4. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule