Um Curso de Cálculo, Volume 1
7.3 Derivadas de xn e
19. Construa uma função f: ℝ → ℝ que seja contínua em ℝ e derivável em
todos os pontos, exceto nos números inteiros.
7.3 Derivadas de
Teorema. Seja n ≠ 0 um natural. São válidas as fórmulas de derivação:
Demonstração
Assim,
ou seja,
Assim, para x ≠ 0 e x no domínio de f,
Exemplo 1
Seja 4 f ( x ) = x . Calcule.
Solução
a) 4 4–1 f ( x ) = x ⇒ f ′( x ) = 4 x , ou seja,
f 3 ′( x ) = 4 x .
b) 3 Como f ′( x ) = 4 x , segue ou seja,
Exemplo 2
Seja 3 f ( x ) = x .
a) Calcule f′(x).
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abscissa 1.
Solução
a) 3 2 Como f ( x ) = x , segue f ′( x ) = 3 x .
b) A equação da reta tangente no ponto de abscissa 1 é
y – f(1) = f′(1)(x – 1)
Assim, y – 1 = 3(x – 1) ou y = 3x – 2 é a equação da reta tangente no
ponto (1, f(1)).
Exemplo 3
Calcule f′(x) sendo
Solução
Exemplo 4
Seja Calcule
a) f′(x)
b) f′(3).
Solução
Exemplo 5
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto
de abscissa 8.
Solução
A equação da reta tangente no ponto de abscissa 8 é
y – f(8) = f′(8)(x – 8)
Exercícios 7.3
1. 5 Seja f ( x ) = x . Calcule
a) f′(x)
b) f′(0)
c) f′(2)
2. Calcule g′(x) sendo g dada por
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de
abscissa 2. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto
de abscissa 1. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
5. Seja Calcule.
a) f′(x)
b) f′(1)
c) f′(–32)
6. Calcule g′(x), sendo g dada por
7. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto
de abscissa 1. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
8. Seja r a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa p. Verifique que
r intercepta o eixo x no ponto de abscissa 2p.