Um Curso de Cálculo, Volume 1
F.5 Multiplicação em ℝ
Demonstração
Da hipótese, segue que 0* + γ = 0*; daí γ = 0*.
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Exercícios
1. Prove: ∀α, β, γ ∈ ℝ, α = β ⇒ α + γ = β + γ.
2. Prove: ∀α, β, γ ∈ ℝ, α + γ = β + γ ⇒ α = β (lei do cancelamento).
3. Prove: ∀α ∈ ℝ, − (−a) = α.
4. Prove: ∀α ∈ ℝ, α ≤ 0* ⇔ 0* ≤ −α.
5. Prove: ∀α, β, γ, δ ∈ ℝ, α ≤ β e γ ≤ δ ⇒ α + γ ≤ β + δ.
F.5 Multiplicação em ℝ
Teorema. Sejam α, β ∈ ℝ , com α > 0* e β > 0*. Então
γ = ℚ_ ∪ { ab | a ∈ α, b ∈ β, a > 0, b > 0 }
é um número real.
Demonstração
(R1) γ ≠ ϕ, pois ℚ_ ⊂ γ.
Para provar que γ ≠ ℚ, procedemos assim: como α e β são números reais,
existem racionais m e n com m ∉ α e n ∉ β, daí:
∀a ∈ α, com a > 0, a < m
∀b ∈ β, com b > 0, b < n
logo,
ab < mn para todo a ∈ α, a > 0, para todo b ∈ β, b > 0, portanto, mn ∉ γ.
(Por quê?)
(R2) Sejam p, q racionais com p ∈ γ e q < p; precisamos provar que q ∈ γ.
Então:
a) Se p ≤ 0, então q < 0, logo q ∈ γ. b) Se p > 0 e q ≤ 0, q ∈ γ.
c) Se p > 0 e q > 0, vem:
p ∈ γ e p > 0 ⇒ p = ab para algum a ∈ α, a > 0, e para algum b ∈ β, b > 0.
Portanto, q ∈ γ.
(R3) Para provarmos que γ não tem máximo, basta provarmos que, se p ∈ γ e
p > 0, então existe q ∈ γ com q > p.
Temos:
p ∈ γ, p > 0 ⇒ p = ab para algum a ∈ α, a > 0 e algum b ∈ β, b > 0.
Como α e β são números reais, existem a' > a, com a' ∈ α, b' > b, com b'
∈ β; daí a' b' > ab = p, com a' b' ∈ γ.
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A seguir, daremos a definição de produto de dois números reais.
Definição. Sejam α, β ∈ ℝ. De nimos o produto de α por β por:
Exemplo
Seja α = ℚ_ ∪ { p ∈ < 2}; prove que α · α = 2*.
Solução
α 2 2 · α = ℚ _ ∪ { ab | a > 0 e a < 2, b > 0 e b < 2}.
Precisamos provar que α · α ⊂ 2* e que 2* ⊂ α · α.
x ∈ α · α e x ≤ 0 ⇒ x ∈ 2*. x 2 ∈ α · α e x > 0 ⇒ x = ab , com a > 0 e a < 2, b > 0 e b 2 < 2.
x 2 2 2 = ab ⇒ x = a · b < 4. x 2 > 0 e x < 4 ⇒ x < 2. Portanto, x ∈ α · α e x > 0 ⇒ x ∈ 2*.
Segue que α · α ⊂ 2*.
x ∈ 2* e x ≤ 0 ⇒ x ∈ α · α.
Existe a racional, a > 0, tal que
x ∈ α · α.
Assim,
x ∈ 2* e x > 0 ⇒ x ∈ α · α.
Portanto, 2* ⊂ α · α.
Provamos, assim, que α · α = 2*, ou seja, 2* admite raiz quadrada
em ℝ.
Seja k o natural para o qual se tem
Basta, então, tomar k a = u .