1.6 Existência de Raízes

b) Como 1 > 0, por Arquimedes, existe um natural n tal que n > x.

 

1.6 Existência de Raízes

Inicialmente, observamos que se [a , b ], [a , b ], [a , b ], …, [a , 0 0 1 1 2 2 n b ], … for uma sequência de intervalos satisfazendo as condições da n

propriedade dos intervalos encaixantes e se para todo n, a . 0 e b > 0, n n então a sequência de intervalos

também satisfará aquelas condições (verifique).

Antes de apresentar o próximo exemplo, lembramos que por um dígito

entendemos um natural pertencente ao conjunto {0, 1, 2, 3, …, 9}.

Exemplo 1

Mostre que a equação 2 x = 2 admite uma única raiz positiva α.

Solução

Seja A o maior natural tal que 0

 

daí

( 2 2 A + 1) > 2 ( A + 1 = 2, 2 > 2).

0 0

Façamos, agora, a = A e b = A + 1. Seja A o maior dígito 0 0 0 0 1

tal que

Façamos:

 

Assim,

 

(Observe: a = 1,4 e b = 1,5.) 1 1

Seja A o maior dígito tal que 2

 

Façamos:

 

(Observe: a = 1,41 e b = 1,42.) 2 2

Assim,

 

Prosseguindo com este raciocínio, obteremos uma sequência de

intervalos [a , b ], [a , b ], …, [a , b ] satisfazendo as 0 0 1 1 n n

condições da propriedade dos intervalos encaixantes (observe que

e quando n cresce b – a tende a zero). Assim, n n

existe um único real α tal que, para todo n,

a ≤ α ≤ b n n

e, portanto,

 

Mas α 2 é o único real tendo esta propriedade, pois,

também satisfaz as condições daquela

propriedade. Como, para todo n,

 

segue-se que α 2 = 2. Fica provado, assim, que existe um real α > 0

tal que α 2 = 2. Vejamos, agora, a unicidade. Suponhamos que β > 0

também satisfaça a equação; temos

 

Teorema. Sejam a > 0 um real e n ≥ 2 um natural. Então existe um único real α > 0 tal que

α n = a.

 

Demonstração

É deixada para o leitor [sugestão: siga o raciocínio utilizado no exemplo anterior].

■

Notação Sejam n a > 0 um real e n ≥ 1 um natural. O único real positivo α tal que α

= a é indicado por Dizemos que α é a raiz n-ésima (ou de ordem n) positiva de a.

■

Sejam a > 0 e b > 0 dois reais, m ≥ 1 e n ≥ 1 dois naturais e p um

inteiro. Admitiremos a familiaridade do leitor com as seguintes propriedades das raízes:

 

Exemplo 2

Seja a um real qualquer. Mostre que se n for ímpar, n natural, então

existe um único real n α = a.

Solução

Se n a > 0, pelo teorema anterior, existe um único α > 0 tal que α = a.

Por outro lado, para todo n β < 0, β < 0 (pois estamos supondo n

ímpar). Segue que o α acima é o único real tal que n α = a.

Se n n a < 0, existe um único real β tal que β = – a e daí (–β) = a

(lembre-se de que (– n n β ) = – β ). Assim, –β é o único real tal que (–

β) n = a.

Notação

Se n n for ímpar e a um real qualquer, o único α tal que α = a é indicado por

■

Exemplo 3

Calcule.

 

Solução

 

(Lembre-se: indica a raiz positiva de ordem 4 de 16.)

 

Exemplo 4

Verifique que

 

Solução

Assim:

 

Observação. Veja uma forma interessante de xar a identidade acima:

a 3 3 2 2 – b = ( a – b ) ( a + ab + b )

agora, extraia a raiz cúbica de todos os termos desta identidade.

 

Já vimos que a equação 2 x = 2 não admite solução em ℕ como é

raiz de tal equação, resulta que não é racional, isto é, é um número irracional.

Observe que 2 x = 2 ter solução em ℝ é uma consequência da

propriedade dos intervalos encaixantes; como esta equação não admite solução em ℕ, isto significa que o corpo ordenado dos racionais não satisfaz tal propriedade. Esta é a grande falha dos racionais. A grande diferença entre o corpo ordenado dos reais e o dos racionais é que o primeiro satisfaz a propriedade dos intervalos encaixantes e o segundo, não.

Os dois próximos exemplos mostram-nos que entre dois reais quaisquer

sempre existem pelo menos um racional e pelo menos um irracional.

Exemplo 5

Sejam x e y dois reais quaisquer, com x < y. Então, existe pelo menos

um irracional t tal que x < t < y.

Solução

x é racional ou irracional; suponhamos inicialmente x irracional.

Temos

x < y ⇔ y – x > 0.

Por Arquimedes, existe um natural n tal que

 

Como tomando-se tem-se x < t < y

 

com t irracional (a soma de um racional com um irracional é

irracional). Suponhamos, agora, x racional. Por Arquimedes existe

um natural n tal que tomando-se tem-se x <

t < y, com t irracional.

 

Exemplo 6

Sejam x, y dois reais quaisquer com x < y. Então existe pelo menos

um racional r com x < r < y.

Solução

1 o Caso: 0 < x < y

Por Arquimedes existe um natural k, com k > y; ainda, por

Arquimedes, existe um natural n tal que

 

Sejam seja j

o maior índice tal que a ≤ x; assim a > x e como j j + 1

resulta x < a < y tomando-se j + 1

t = a , tem-se x < t < y, com t racional. j + 1

2 o Caso: x < 0 < y

Basta tomar t = 0.

3 o Caso: x < y < 0

x < y < 0 ⇔ 0 < –y < –x.

Pelo 1 o caso, existe um racional s tal que

–y < s < –x.

Portanto,

x < –s < y

com –s racional.

4 o Caso: x = 0 ou y = 0

Faça você.

 

Exercícios 1.6

 

1. Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional.

 

2. O produto de um racional diferente de zero com um irracional é

racional ou irracional? Justifique.

 

3. Prove que é irracional.

 

4. é racional ou irracional? Justifique.

 

5. Verifique as identidades em que x > 0 e y > 0.

6. Determine uma aproximação por falta, com duas casas decimais exatas,

de

 

7. Prove: se para todo r > 0, r real, |a – b| < r, então a = b.

 

8. Sejam x, y dois reais quaisquer com x > 0 e y > 0. Mostre que

 

9. Sejam x, y dois reais quaisquer, com 0 < x < y. Prove

 

10. Seja ∊ > 0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais

positivos x e y, tem-se:

 

11. Sejam x, y dois reais quaisquer, com 0 < x < y. Prove

 

12. A afirmação: