Um Curso de Cálculo, Volume 1
10.2 Primitiva de uma Função
Suponha, ainda, que f(0) = 0 e g (0) = 1. Prove que, para todo t, o ponto (f(t), g (t)) pertence à elipse .
10.2 Primitiva de uma Função
Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F definida em I, tal que
F′(x) = f(x)
para todo x em I.
Exemplo 1
é uma primitiva de 2 f ( x ) = x em ℝ, pois, para todo x em ℝ,
Observe que, para toda constante k, é, também,
primitiva de 2 f ( x ) = x .
Exemplo 2
Para toda constante k, F(x) = 2x + k é primitiva, em ℝ, de f(x) = 2, pois,
F′(x) = (2x + k)′ = 2
para todo x.
Sendo F uma primitiva de f em I, então, para toda constante k, F(x) + k é,
também, primitiva de f. Por outro lado, como vimos na seção anterior, se duas funções têm derivadas iguais num intervalo, elas diferem, neste intervalo, por uma constante. Segue que as primitivas de f em I são as funções da forma F(x) + k, com k constante. Diremos, então, que
y = F(x) + k, k constante,
é a família das primitivas de f em I. A notação será usada para
representar a família das primitivas de f:
Na notação , a função f denomina-se integrando. Uma primitiva de
f será, também, denominada uma integral indefinida de f. É comum referir-se a
como a integral indefinida de f.
Observação. O domínio da função f que ocorre em deverá ser sempre um intervalo;
nos casos em que o domínio não for mencionado, cará implícito que se trata de um intervalo.
Exemplo 3
Calcule.
a)
b)
Solução
a)
. Logo, .
b) O integrando é a função constante f(x) = 1. Então
pois, (x)′ = 1.
Exemplo 4
Calcule , em que α ≠ −1 é um real fixo.
Solução
Exemplo 5
Calcule
a)
b)
Solução
a)
b) (veja Exemplo 4)
ou seja,
e, portanto,
Exemplo 6
Calcule .
Solução
ou seja,
Exemplo 7
Calcule .
Solução
ou seja,
e, portanto,
Exemplo 8
Calcule .
Solução
pois .
Seja α um real fixo. Dos Exemplos 4 e 8 resulta
Exemplo 9
Calcule .
Solução
ou seja,
Exemplo 10
Seja α um real fixo, α ≠ 0. Calcule .
Solução
, logo,
Exemplo 11
Calcule.
a)
b)
Solução
a)
b)
Exemplo 12
Determine y = y(x), x ∈ ℝ, tal que
Solução
Assim,
Vimos, ao final da seção anterior, que se F′(x) = G′(x) para todo x no
intervalo I e se, para algum x em I, F(x ) = G(x ), então, F(x) = G(x) em I. 0 0 0 Segue deste resultado que se f admitir uma primitiva em I e se x , y forem 0 0 dois reais quaisquer, com x ∈ I, então existirá uma única função y = y (x), x 0
∈ I, tal que
Exemplo 13
Determine a única função y = y (x), definida em ℝ, tal que
Solução
A condição y (0) = 2 significa que, para x = 0, devemos ter y = 2.
Vamos determinar k para que esta condição esteja satisfeita.
Substituindo, então, em , x por 0 e y por 2, resulta k = 2.
Assim,
Exemplo 14
Determine a função y = y (x), x ∈ ℝ, tal que
Solução
Assim,
Para se ter y′(0) = 0 ou , é preciso que k = 0. Assim, 1
daí
Para k = 1, a condição inicial y (0) = 1 se verifica. Assim, 2
Exemplo 15
Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, t ≥ 0,
a velocidade é v (t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a
partícula encontra-se na posição x = 1. Determine a posição x = x (t) da
partícula no instante t.
Solução
Temos:
Para k = 1, teremos x = 1 para t = 0. Assim,
x 2 ( t ) = t + t + 1.
Exercícios 10.2
1. Calcule.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
2. Seja α ≠ 0 um real fixo. Verifique que
a)
b)
3. Calcule.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
4. Verifique que
a) = arcsen x + k, −1 < x < 1
b) = arctg x + k
5. Determine a função y = y(x), x ∈ ℝ, tal que
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6. Determine a função y = y (x), x > 0, tal que
a)
b)
c)
d)
7. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v (t) = t + 3, t ≥ 0.
Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2.
a) Qual a posição da partícula no instante t?
b) Determine a posição da partícula no instante t = 2.
c) Determine a aceleração.
8. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v (t) = 2t − 3, t ≥
0. Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5. Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem.
9. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v (t) = at + v , t ≥ 0
0 (a e v constantes). Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-0
se na posição x = x . Determine a posição x = x(t) da partícula no instante 0
t.
10. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x(t), t
≥ 0. Determine x = x(t), sabendo que
a)
b 2 ) v ( t ) = t − 1 e x (0) = −1
c)
d)
e)
f)
g)
11. Esboce o gráfico da função y = y (x), x ∈ ℝ, sabendo que
a)
b)
c)
d)
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A.1 Máximo, Mínimo, Supremo e Ínfimo de um
Conjunto
O objetivo desta seção é introduzir os conceitos de que necessitaremos para enunciar a propriedade do supremo. Como veremos, é esta propriedade que diferencia ℝ de ℚ; é, ainda, esta propriedade que torna o sistema dos números reais uma cópia perfeita da reta. O enunciado de tal propriedade será objeto da próxima seção.
Seja A um conjunto de números reais. O maior elemento de A, quando
existe, denomina-se máximo de A e indica-se por máx A. O menor elemento de A, quando existe, denomina-se mínimo de A e indica-se por mín A.
Dizemos que um número m é uma cota superior de A se m for máximo
de A ou se m for estritamente maior que todo número de A. Diremos que m é uma cota inferior de A se m for mínimo de A ou se m for estritamente menor que todo número de A.
Exemplo 1
Seja A = {1, 2, 3}. Temos:
a) 1 é o mínimo de A, 1 = mín A; 3 é o máximo de A, 3 = máx A.
b) 3, 100 são cotas superiores de A.
c) 1, 0, são cotas inferiores de A.
Exemplo 2
Seja A = {x ∈ ℝ| 1 ≤ x < 2}. Temos:
a) 1 = mín A.
b) Para todo t ∈ A, também pertence a A e t <
(verifique).
Assim, para todo t em A, existe um outro número em A que é
estritamente maior que t; logo, A não admite máximo.
c) Todo número m ≤ 1 é uma cota inferior de A.
d) Todo número m ≥ 2 é uma cota superior de A.
Um conjunto A pode não admitir máximo; entretanto, poderá admitir
uma menor cota superior. Por exemplo, o conjunto
não admite máximo, mas admite uma menor cota superior que é 2.
A menor cota superior de um conjunto A, quando existe, denomina-se
supremo de A e indica-se por sup A.
É claro que se A admitir máximo m, então, m será, também, o supremo
de A. Entretanto, A poderá não admitir máximo, mas admitir supremo; por exemplo, o conjunto A acima não admite máximo, mas admite supremo 2 : 2 = sup A.
A maior cota inferior de um conjunto A, quando existe, denomina-se
ínfimo de A e indica-se por inf A.
Se A admitir uma cota superior, então diremos que A é limitado
superiormente.
Se A admitir uma cota inferior, diremos que A é limitado inferiormente.
Exercícios A.1
1. Determine, caso existam, o máximo, mínimo, supremo e ínfimo.
a) A = {x ∈ ℝ| −3 ≤ x ≤ 4}
b) A = {x ∈ ℝ| −3 < x < 4}
c) A = {x ∈ ℝ| x < 5}
d) A = {x ∈ ℝ| x ≥ 2}
f) A = {x ∈ ℝ| |3x − 1 | > 1}
g) A = {−3, −1, 0, 2, 1}
2. Assinale os conjuntos do Exercício 1 que são limitados superiormente.
3.
é limitado superiormente? Por quê?
A.2 Propriedade do Supremo
Admitiremos a seguinte importante propriedade dos números reais.
Propriedade do supremo. Todo conjunto de números reais, não vazio e limitado
superiormente, admite supremo.
Pelo fato de ℝ satisfazer a propriedade do supremo, diremos que ℝ é
um corpo ordenado completo. Os teoremas centrais do cálculo dependem desta propriedade de ℝ.
Uma consequência importante da propriedade do supremo é a
propriedade de Arquimedes.
Propriedade de Arquimedes. Se x > 0 e y são dois reais quaisquer, então existe pelo
menos um número natural n tal que
nx > y.
Demonstração
Suponhamos, por absurdo, que para todo natural n, nx ≤ y; consideremos então o conjunto
A é não vazio (1 · x = x ∈ A) e limitado superiormente por y, logo
admite supremo. Seja s o supremo de A. Como x > 0, s − x < s; assim, s − x não é cota superior de A (por quê?); logo existe um natural m tal que
s − x < mx
e daí
s < (m + 1) x
que é uma contradição, pois s é o supremo de A e (m + 1) x ∈ A. Deste modo, supor nx ≤ y para todo natural n leva-nos a uma contradição; logo, nx > y para algum natural n.
■
O próximo exemplo exibe-nos duas consequências importantes da
propriedade de Arquimedes.
Exemplo
a) Para todo x > 0, existe pelo menos um natural n tal que < x.
b) Para todo real x existe pelo menos um natural n tal que n > x.
Solução
a) Como x > 0, por Arquimedes, existe um natural n tal que nx > 1 e,
portanto, < x.
(Observe: nx > 1 ⇒ n ≠ 0).
b) Como 1 > 0, por Arquimedes, existe um natural n tal que n > x.
A propriedade que apresentaremos na próxima seção é uma outra
consequência importante da propriedade do supremo e será utilizada várias vezes no texto.
Exercícios A.2
Prove que se A for não vazio e limitado inferiormente, então A admite
ínfimo.
A.3 Demonstração da Propriedade dos Intervalos
Encaixantes
Seja [a , b ], [a , b ], [a , b ], …, [a , b ], … uma sequência de 0 0 1 1 2 2 n n intervalos satisfazendo as condições:
(i) [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ … ⊃ [a , b ] ⊃ … 0 0 1 1 2 2 n n
(ou seja, cada intervalo da sequência contém o seguinte);
(ii) para todo r > 0, existe um natural n tal que
b − a < r n n
(ou seja, à medida que n cresce, o comprimento do intervalo [a , b ] n n
vai tendendo a zero).
Nestas condições, existe um único real a que pertence a todos os
intervalos da sequência, isto é, existe um único real α tal que, para todo natural n, a ≤ a ≤ b . n n
Demonstração
A = {a , a , a , …, a , …} é não vazio e limitado superiormente, pois 0 1 2 n
todo b é cota superior de A. Assim, A admite supremo; seja α tal supremo. n
Como α é a menor cota superior de A, para todo natural n temos
a ≤ α ≤ b . n n
Se β for outro real tal que, para todo n,
a ≤ β ≤ b n n
teremos, para todo n,
|α − β| ≤ b − a n n
Tendo em vista a propriedade (ii), para todo r > 0,
|α − β| < r.
Logo, α = β (por quê?).
■
A.4 Limite de Função Crescente (ou Decrescente)
Sejam f uma função e A um subconjunto do domínio de f. Dizemos que f é limitada superiormente em A se existir um número real M tal que, para todo x ∈ A, f(x) ≤ M.
Por outro lado, dizemos que f é limitada inferiormente em A se existir
um número real m tal que, para todo x ∈ A, f(x) ≥ m.
Teorema. Seja f uma função de nida e crescente em ]a, b[.
a) Se f for limitada superiormente em ]a, b[, então
com L = sup {f(x) | x ∈ ]a, b[}
b) Se f não for limitada superiormente em ]a, b[, então
Demonstração a) O conjunto {f(x) | x ∈ ]a, b[} é não vazio e limitado superiormente;
logo, admite um supremo L. Dado, então ε > 0, existe um x ∈ ]a, b[, 1 tal que, L − ε < f(x ) ≤ L. Daí, para todo x em ]x , b[, tem-se 1 1
L − ε < f(x ) ≤ f(x) ≤ L < L + ε 1
ou seja,
L − ε < f(x) < L + ε.
Logo,
b) Como f não é limitada superiormente, para todo M > 0 dado, existe x 1
∈ ]a, b[, tal que f(x ) > M. Pelo fato de f ser crescente, tem-se, para 1
todo x ∈ ]x , b[, 1
f(x) > M
ou seja,
■
Fica para o leitor enunciar e provar teorema análogo para o caso de f ser
decrescente em ]a, b[.
Conforme as palavras seguintes de Richard Dedekind (1813-1916) em
seu livro Essays on the theory of numbers, a razão que o levou à definição de número real (veja Apêndice F) foi exatamente o teorema anterior.
“Minha atenção voltou-se primeiramente para as considerações que
constituem o assunto deste folheto no outono de 1858. Como professor na Escola Politécnica em Zurique, vi-me pela primeira vez obrigado a dar aulas sobre os elementos do cálculo diferencial e senti mais agudamente do que nunca a falta de um fundamento realmente científico para a aritmética. Ao discutir a noção de limite e especialmente ao provar o teorema segundo o qual toda magnitude que cresce continuamente, mas não além de todos os limites, deve certamente se aproximar de um valor finito, tive que recorrer a evidências geométricas. Mesmo agora, esse recurso à intuição geométrica numa primeira apresentação do cálculo diferencial, eu o vejo como extremamente útil, do ponto de vista didático, e até mesmo indispensável se não se quer perder muito tempo. Mas ninguém pode negar que essa forma de introdução ao cálculo diferencial não pode se pretender científica. Para mim, esse sentimento de insatisfação foi tão esmagador que mantive a firme intenção de continuar refletindo sobre a questão até encontrar um fundamento puramente aritmético e perfeitamente rigoroso para os princípios da análise infinitesimal.” (Dover Publications, Inc., Nova York.)
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B.1 Demonstração do Teorema do Anulamento
Teorema (do anulamento). Se f for contínua em [a, b] e se f(a) e f(b) tiverem sinais
contrários, então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = 0.
Demonstração
Para fixar o raciocínio, suponhamos f(a) < 0 e f(b) > 0. Façamos a = a e b 0 = b ; seja c o ponto médio do segmento [a , b ]. Temos 0 0 0 0
Suponhamos f(c ) < 0 e façamos c = a e b = b . Temos f(a ) < 0 0 0 1 0 1 1
e f(b ) > 0. Seja c o ponto médio do segmento [a , b ]. Temos 1 1 1 1
Suponhamos f(c ) ≥ 0 e façamos a = a e c = b . Assim, f(a ) < 0 1 1 2 1 2 2
e f(b ) ≥ 0. Prosseguindo com este raciocínio, construiremos uma 2
sequência de intervalos
[a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ … ⊃ [a , b ] ⊃ … 0 0 1 1 2 2 n n
que satisfaz as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e tal que, para todo n,
Seja c o único real tal que, para todo n,
a ≤ c ≤ b . n n
As sequências de termos gerais a e b convergem para c (verifique). n n
Segue, então, da continuidade de f, que
Segue de ① e de ② que
f(c) ≤ 0 e f(c) ≥ 0
e, portanto, f(c) = 0.
■
B.2 Demonstração do Teorema do Valor
Intermediário
Teorema (do valor intermediário). Se for contínua no intervalo fechado [a, b] e se γ for um
real compreendido entre f(a) e f(b), então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = γ.
Demonstração
Para fixar o raciocínio, suponhamos f(a) < γ < f(b). Consideremos a função
g (x) = f(x) – γ, x em [a, b].
Como f é contínua em [a, b], g também o é; temos, ainda
g (a) = f(a) – γ < 0 e g (b) = f(b) – γ > 0.
Pelo teorema do anulamento, existe c em [a, b] tal que g (c) = 0, ou seja,
f(c) = γ.
■
B.3 Teorema da Limitação
Para a demonstração do teorema de Weierstrass, necessitaremos do teorema da limitação, cujos enunciado e demonstração serão objeto desta seção.
Dizemos que f é limitada em A ⊂ D se existir M > 0 tal que, para todo f
x em A
|f(x) | ≤ M.
Da definição acima, segue que, se f não for limitada em B ⊂ D , para f
todo natural n, existe x ∈ B, com |f(x )| > n. n n
Teorema (da limitação). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b], então f será limitada
em [a, b].
Demonstração
Suponhamos, por absurdo, que f não seja limitada em [a, b]. Façamos a = a e b = b ; existe, então, x em [a , b ] tal que |f(x )| > 1. Seja c o 1 1 1 1 1 1 1 ponto médio de [a , b ]; f não será limitada em um dos intervalos [a , 1 1 1 c ] ou [c , b ]; suponhamos que não seja limitada em [c , b ] e façamos 1 1 1 1 1 a = c e b = b . Não sendo f limitada em [a , b ], existirá x ∈ [a , 2 1 2 1 2 2 2 2 b ] tal que |f(x )| > 2. Prosseguindo com este raciocínio, construiremos 2 2
uma sequência de intervalos
[a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ [a , b ] ⊃ … ⊃[a , b ] ⊃ … 1 1 2 2 3 3 n n
satisfazendo as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e tal que, para todo natural n > 0, existe x ∈ [a , b ] com n n n
Segue de ① que = +∞. Seja, agora, c o único real tal que,
para todo n > 0,
c ∈ [a , b ]. n n
Como a sequência x converge para c (verifique) e f é contínua em c, n
resulta que |f(c)| que está em contradição com +∞. Fica provado que a suposição de f não ser limitada em [a, b] nos leva a uma contradição. Portanto, f é limitada em [a, b].
■
B.4 Demonstração do Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass). Se f for contínua em [a, b], então existirão x e x em [a, b] 1 2
tais que f(x ) ≤ f(x) ≤ f(x ) para todo x em [a, b]. 1 2
Demonstração
Sendo f contínua em [a, b], f será limitada em [a, b], daí o conjunto
A = {f(x) | x ∈ [a, b]}
admitirá supremo e ínfimo. Sejam
M = sup{f(x) | x ∈ [a, b]}
e
m = inf{f(x) | x ∈ [a, b]}
Assim, para todo x em [a, b], m ≤ f(x) ≤ M.
Provaremos, a seguir, que M = f(x ) para algum x em [a, b]. Se 2 2
tivéssemos f(x) < M para todo x em [a, b], a função
seria contínua em [a, b], mas não limitada em [a, b], que é uma contradição (se g fosse limitada em [a, b], então existiria um β > 0 tal que, para todo x em [a, b]
e, portanto, para todo x em [a, b],
e assim M não seria supremo de A).
Segue que f(x) < M para todo x em [a, b] não pode ocorrer, logo
devemos ter M = f(x ) para algum x em [a, b]. Com raciocínio análogo, 2 2 prova-se que f(x ) = m para algum x , em [a, b]. 1 1
■
Observação. A ideia que nos levou a construir tal função g foi a seguinte: sendo M o supremo
dos f(x), por menor que seja r > 0, existirá x tal que M − r < f(x) < M; assim, a diferença M −
f(x) poderá se tornar tão pequena quanto se queira e, portanto, g (x) poderá se tornar tão
grande quanto se queira.
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