9.2 Intervalos de Crescimento e de Decrescimento

Antes de passarmos à próxima seção vamos relembrar as seguintes

definições. Sejam f uma função e A um subconjunto do domínio de f. Dizemos que f é estritamente crescente (estritamente decrescente) em A se, quaisquer que sejam s e t em A,

s < t ⇒ f(s) < f(t) (f(s) > f(t)).

Por outro lado, dizemos que f é crescente (decrescente) em A se, quaisquer que sejam s e t em A,

s < t ⇒ f(s) ≤ f(t) (f(s) ≥ f(t)).

 

9.2 Intervalos de Crescimento e de Decrescimento

Como consequência do TVM temos o seguinte teorema.

 

Teorema. Seja f contínua no intervalo I.

a) Se f′(x) > 0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente

em I.

b) Se f′(x) < 0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente

em I.

 

Demonstração

a) Precisamos provar que quaisquer que sejam s e t em I, s < t ⇒ f(s) < f(t).

Sejam, então, s e t em I, com s < t.

 

Da hipótese, segue que f é contínua em [s, t] e derivável em ]s, t[; pelo

TVM existe tal que

De pois está no interior de I, e de t − s > 0 segue

 

f(t) − f(s) > 0 ou f(s) < f(t).

Portanto,

 

b) Fica como exercício.

■

(Observação: x interior a I significa que x ∈ I, mas x não é extremidade de I.)

Exemplo 1

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de 3 f ( x ) = x

− 2 2 x + x + 2. Esboce o gráfico.

Solução

f 2 ′( x ) = 3 x − 4x + 1

 

Então,

Antes de esboçar o gráfico de f vamos calcular os limites de f para x →

+∞ e x → −∞.

Exemplo 2

Seja Estude f com relação a crescimento e

decrescimento. Esboce o gráfico.

Solução

 

Como (1 + 3 2 2 x ) > 0 para todo x, o sinal de f′ é o mesmo que o do

numerador.

f é estritamente crescente em ]−∞, −1] e em

f é estritamente decrescente em

 

Temos

Exemplo 3

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de

Esboce o gráfico.

Solução

 

Então,

 

Segue que

 

Cuidado: f não é estritamente crescente em ]−∞, 0]!!!

Temos

Os limites laterais de f em 1 e −1 fornecem-nos informações sobre o

 

comportamento de f nas proximidades de 1 e −1. Vamos então calculá-

los.

Exemplo 4

Suponha f′′(x) > 0 em ]a, b[ e que existe c em ]a, b[tal que f′(c) = 0.

Prove que f é estritamente decrescente em ]a, c[ e estritamente crescente

em ]c, b[.

Solução

f′ é estritamente crescente em ]a, b[, pois, f′′(x) > 0 em ]a, b[. Assim,

 

Segue que

 

Exemplo 5

Prove que 3 2 g  ( x ) = 8 x + 30 x + 24x + 10 admite uma única raiz real a,

com −3 < a < −2.

Solução

Vamos estudar g com relação a crescimento e decrescimento.

g 2 ′( x ) = 24 x + 60x + 24

24 2 x + 60x + 24 = 0 ⇔ x = −2 ou

 

Como g estritamente decrescente em e

estritamente crescente em segue que g (x) > 0 para todo x ≥

−2. Por outro lado, como e g estritamente crescente em ]

−∞, −2], resulta que g admite uma única raiz neste intervalo. Tendo em

vista que g (−3) = −8 e g (−2) > 0, segue que a única raiz está contida no

intervalo [−3, −2].

Exemplo 6

 

a) x Mostre que, para todo x ≥ 0, e > x.

b) Mostre que, para todo

c) Conclua de (b) que

Solução

a) x Consideremos a função f ( x ) = e − x. Temos

f(0) = 1.

Se provarmos que f é estritamente crescente em [0, +∞[, seguirá que,

para x ≥ 0,

e x x − x ≥ 1 > 0 ou e > x.

Como x f ′( x ) = e − 1, para x > 0

f′(x) > 0

e, portanto, f é estritamente crescente em [0, +∞[.

b) Seja Temos

g x ′( x ) = e − x.

Pelo item (a) g′(x) > 0 para todo x ≥ 0. Assim, g (x)é estritamente

crescente em [0, +∞[; como g (0) = 1, segue que para todo x ≥ 0

 

c) Pelo item (b), para todo x > 0

Como resulta

 

 

Para x x → +∞, e tende a +∞ mais rapidamente que x.

 

Vamos mostrar, a seguir, que, x para x → +∞, e tende a +∞ mais

rapidamente que qualquer potência de x.

Seja α > 0 um real dado. Observamos que

 

Temos, agora,

 

Assim,

 

Para x x → +∞, e tende a +∞ mais rapidamente que qualquer potência de x.

Exemplo 7

Suponha g derivável no intervalo aberto I = ]p, q[, com g′(x) > 0 em I, e

tal que Nestas condições, prove que, para todo x em I, tem-

se g (x) > 0.

Solução

Consideremos a função G, definida em [p, q[ e dada por

 

Como g é derivável no intervalo aberto I, g é contínua neste intervalo.

Logo, G é, também, contínua em I. Por outro lado

 

ou seja, G é contínua em p = 0. Logo, G é contínua em [p, q[. Para x ∈ I,

G′(x) = g′(x) > 0. De G (p) = 0, segue G (x) > 0 para todo x ∈ I, ou seja,

g (x) > 0 para todo x ∈ I.

 

Na Seção 9.4, vamos estabelecer as regras de L’Hospital, que são

ferramentas poderosas e que se aplicam ao cálculo de limites que apresentam indeterminações dos tipos Para demonstrar tais regras, vamos precisar

dos dois exemplos que apresentaremos a seguir.

Exemplo 8

Sejam f e g duas funções deriváveis no intervalo aberto I = ]p, q[, com g′

(x) > 0 em I, e tais que

Suponha, ainda, que existam constantes α e β tais que, para todo

Nestas condições, mostre que, para todo x em I,

tem-se, também,

 

Solução

Pelo exemplo anterior, temos, para todo x ∈ I, g(x) > 0. Por outro lado,

para todo x em I,

 

Segue que, para todo x em I,

 

para todo x em I. Logo, para todo x em I,

 

Exemplo 9

Sejam f e g deriváveis no intervalo aberto I = ]m, p[, com g′(x) > 0 em I,

e tais que

 

Suponha, ainda, que existam constantes α e β tais que, para todo x em I,

Nestas condições, mostre que existem constantes M, N e

s, com s ∈ ]m, p[, tais que, para todo x ∈ ]s, p[,

 

Solução

De segue que existe s ∈ ]m, p[tal que, para todo x ∈ ]s,

p[, tem-se g (x) > 0. Por outro lado, para todo x ∈ I, tem-se

 

e

 

Segue que, para todo x ∈ ]s, p[, tem-se

 

e

 

Fazendo M = f(s) − αg (s), N = f(s) − βg (s) e lembrando que g (x) > 0 em

I, resulta, para todo x ∈ ]s, p[,

Exercícios 9.2

 

 

1. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o

gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

2. 3 2 Prove que a equação x − 3 x + 6 = 0 admite uma única raiz real.

Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

 

3. 3 2 Prove que a equação x + x − 5x + 1 = 0 admite três raízes reais

distintas. Localize tais raízes.

 

4. Determine a, para que a equação

x 3 2 + 3 x − 9x + a = 0

 

admita uma única raiz real.

 

5. Calcule.

6. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o

gráfico (para isto, calcule todos os limites necessários).

7. Seja

 

a) Calcule f′(0), pela definição

b) Determine f′

c) Esboce o gráfico, calculando, para isto, todos os limites necessários

 

8. n Seja n ≥ 2 um natural dado. Prove que x − 1 ≥ n(x − 1) para todo x ≥ 1.

 

( n Sugestão : Verifique que f ( x ) = [ x − 1] − n(x − 1) é estritamente crescente em [1, +∞[.)

 

9. Prove que, para todo x > 0, tem-se

 

10. Mostre que, para todo x > 0, tem-se

 

11. Mostre que, para todo x > 0, tem-se

(Sugestão: Utilize o item (b) do Exercício 10 e o item (a) acima.)

 

 

12.

a) Mostre que, para todo x > 0,

 

b) Mostre que, para todo x ≠ 0,

 

Generalize tal resultado.

 

13. Suponha que f tenha derivada contínua no intervalo I e que f′ nunca se

anula em I. Prove que f é estritamente crescente em I ou estritamente decrescente em I.

 

14. Seja

a) Verifique que f′ é contínua em R

b) Verifique que f′(x) ≠ 0 em R

c) Tendo em vista que f′(0) > 0, conclua que f é estritamente crescente

 

(Sugestão: Veja Exercício 13.)

 

15. Seja f uma função tal que f′′′(x) > 0 para todo x em ]a, b[. Suponha que

existe c em ]a, b[tal que f′′(c) = f′(c) = 0. Prove que f é estritamente crescente em ]a, b[.

 

16. Suponha f derivável no intervalo aberto I. Prove que, se f for estritamente

crescente em I, então f′(x) ≥ 0 para todo x em I.

 

17. Suponha f derivável no intervalo I. A afirmação: “f é estritamente

crescente em I se e somente se f′(x) > 0 em I ” é falsa ou verdadeira? Justifique.

 

18. Suponha f derivável no intervalo I. Prove: f crescente em I ⇔ f′(x) ≥ 0 em

I.

 

(Lembrete: f se diz crescente em I se quaisquer que sejam s e t em I, s < t ⇒ f(s) ≤ f(t).)