9.5 Gráficos

4. Sejam Verifique que

que não existe. Há

alguma contradição com a 1 a regra de L’Hospital?

 

9.5 Gráficos Para o esboço do gráfico de uma função f, sugerimos o roteiro:

a) explicitar o domínio.

b) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento.

c) estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão.

d) calcular os limites laterais de f, em p, nos casos:

(i) p ∉ D , mas p é extremo de um dos intervalos que compõem D . f f

(ii) p ∈ D , mas f não é contínua em p. f

e) calcular os limites para x → + ∞ e x → −∞.

f) determinar ou localizar as raízes de f.

Exemplo 1

Esboce o gráfico de 3 2 f ( x ) = x − x − x + 1.

Solução

a) D = ℝ. f

b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.

c) Concavidade e pontos de inflexão.

 

d) Como f é contínua em ℝ, precisamos apenas calcular os limites para

x → + ∞ e x → −∞.

 

e) As raízes de f são: −1 e 1 (1 é raiz dupla).

Exemplo 2

 

Esboce o gráfico de

Solução

a) D = ℝ − {0}. f

b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.

c) Concavidade e pontos de inflexão.

 

Não há ponto de inflexão.

d) Limites laterais de f em 0.

e) Limites para x → + ∞ e x → −∞.

 

f) f não admite raiz.

 

Observe que, quando x tende a + ∞ ou −∞, o gráfico de f vai

“encostando” por cima no gráfico de 2 y = x .

 

Exemplo 3

Esboce o gráfico de

Solução

a) D = {x ∈ ≠ ±1}. f

b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.

c) Concavidade e pontos de inflexão.

 

Vimos, no Exemplo 5-9.2, que 3 2 g ( x ) = 8 x + 30 x + 24x + 10

admite uma única raiz real a, com −3 < a < −2, e que

g (x)< 0 para x < a e g (x) > 0 para x > a.

Combinando o sinal de 2 g ( x ) com o de x − 1, resulta

 

Ponto de inflexão: a é o único ponto de inflexão.

Seja f uma função. Se existir uma reta y = mx + n tal que

 

então diremos que y = mx + n é uma assíntota para

f; se m = 0, teremos uma assíntota horizontal, e se m ≠ 0, uma assíntota oblíqua.

O que dissemos para x → + ∞ vale para x → −∞.

Se f for da forma com p e q polinômios, f admitirá assíntota

se “grau de p − grau de q” for menor ou igual a 1. Se “grau de p − grau de q” for 1 ou 0, para determinar a assíntota basta “extrair os inteiros”. Se “grau de p − grau de q” for estritamente menor que zero, ou seja, se grau de q for estritamente maior que grau de p, então y = 0 é uma assíntota.

Exemplo 4

Determine a assíntota e esboce o gráfico de

Solução

f é uma função racional e a diferença entre o grau do numerador e do

denominador é 1, logo, f admite assíntota. Temos

 

Como quando x tende a + ∞ ou −∞, o

gráfico de f vai encostando na assíntota y = x. Temos, agora,

a) D = ℝ. f

b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.

 

f é contínua em ℝ e f′(x) > 0, para x ≠ 0, logo, f é estritamente

crescente em ℝ.

Observação. Como f ′(0) = 0, y = 0 é a reta tangente ao grá co de f em (0, 0).

 

 

Muitas vezes, por inspeção, é possível prever a existência ou não de

assíntota. Um bom indicador para a existência de assíntota oblíqua é o seguinte: se para x suficientemente grande, f(x)≅ mx, para algum m, então será razoável esperar a existência de assíntota. Por exemplo, para x suficientemente grande, temos:

Então, é razoável esperar que tais funções admitam assíntotas.

Observe:

 

Para determinar assíntota, procedemos assim: primeiro determinamos m

(caso exista) para que

 

seja finito; em seguida, tomamos para n o valor deste limite.

Observamos que se for finito, então

 

(Cuidado. poderá ser finito sem que o seja.

Verifique.) De modo análogo, se for finito, deveremos ter obrigatoriamente A seguir, sugerimos um processo para se

determinar assíntota.

 

Primeiro determine m, caso exista, através do limite

 

Em seguida, calcule

Se n for nito, y = mx + n será assíntota (para x → + ∞). Proceda de modo análogo para x → −∞.

 

Exemplo 5

Determine as assíntotas de

 

Solução

Temos

 

Segue que

 

Assim, m = 1, para x → + ∞, e m = −1 para x → −∞. Vamos, agora,

deteminar n. Para x → + ∞,

Assim, para x → + ∞, y = x é assíntota. Para x → −∞, temos

 

Logo, para x → −∞, y = −x é assíntota.

 

Exemplo 6

Determine as assíntotas e esboce o gráfico de

Solução

Temos

Assim, para x → + ∞, m = 2, e, para x → −∞, m = −2. Vamos agora

determinar n. Para x → + ∞, temos

 

Segue que Logo, para x → + ∞, é assíntota. Para x →

∞,

Assim, para x → −∞, é assíntota. Temos, então, as

assíntotas

 

Temos, agora,

a) 2 D = . ℝ , pois, 4 x + x + 1 > 0 para todo x

f

b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.

 

c) Concavidade e pontos de inflexão.

f′′(x) > 0 para todo x, logo, concavidade para cima em ℝ.

 

 

Exemplo 7

Determine as assíntotas e esboce o gráfico de

Solução

Assim, m = 1. Vamos, agora, determinar n.

 

Para x → + ∞,

 

Pela 1 a regra de L’Hospital,

 

Para x → −∞,

Logo, é assíntota para x → + ∞ e para x → −∞.

Temos, agora,

a) D = ℝ. f

b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.

 

c) Concavidade e pontos de inflexão.

 

Ponto de inflexão: 1 é o único ponto de inflexão.

e) Em 0 e 1 a função é contínua, mas não é derivável. Vamos então

estudar o comportamento do gráfico de f nos pontos de abscissas 0 e 1.

 

Seja s a reta secante ao gráfico de f passando pelos pontos (0, f(0)) x

e (x, f(x)). O coeficiente angular de s é x

 

O coeficiente angular da reta secante s , que passa pelos pontos (1, f(1)) x

e (x, f(x)) é

 

No ponto (1, f(1)) o gráfico de f admite uma reta tangente vertical.

Gráfico de f

Interprete graficamente os limites

 

Exercícios 9.5

Esboce o gráfico.

 

1. 3 2 f ( x ) = x − 3 x + 3x

 

2. 3 2 f ( x ) = x − x + 1

6. –3x g  ( x ) = xe

 

 

7. –x f ( x ) = 2 x + 1 + e

 

8. 2 f ( x ) = e

–x