7.9 Notações para a Derivada

Frequentemente, usamos expressões do tipo y = f(x), s = f(t), u = f(v) etc. para indicar uma função. Em y = f(x), y é a variável dependente e x a variável independente; em s = f(t), s é a variável dependente e t a variável independente.

Se a função vem dada por y = f(x), a notação, devida a Leibniz, (leia:

derivada de y em relação a x) é usada para indicar a derivada de f em x:

De acordo com a definição de derivada

 

Observe que o símbolo Δx (leia: delta x) desempenha aqui o mesmo papel

que o h em Fazendo Δy = f(x + Δx) – f(x) resulta

Se a função f for dada por s = f(t), as notações serão usadas para

indicar f′(t). Pela definição de derivada

 

Exemplo 1

Seja 3 2 y = 5 x + x . Calcule a derivada.

Solução

 

Observe que o símbolo 3 2 aplicado a 5 x + x indica a derivada de

5 3 2 3 2 x + x , em relação a x . Da mesma forma, a notação (5 x + x )′

indica a derivada de 5 3 2 x + x , em relação a x.

 

Exemplo 2

Calcule sendo

Solução

ou seja,

 

Aqui as notações indicam a derivada de

em relação a t.

 

Exemplo 3

Seja 2 y = u . Calcule pela definição.

Solução

Façamos 2 f ( u ) = u . Assim,

 

Assim,

 

Exemplo 4

Calcule.

Solução

 

Exemplo 5

Seja 2 x = t sen t. Calcule.

 

Solução

É muito comum a notação y = y(x) para indicar uma função; observe que

nesta notação a letra y está sendo usada para indicar a função e ao mesmo

tempo a variável dependente.

 

Exemplo 6

Sejam u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis num mesmo conjunto A.

Segue das regras de derivação que para todo x em A, tem-se

 

Exemplo 7

Seja 2 y = u em que u = u(x) é uma função derivável. Verifique que

 

Solução

Exemplo 8

Calcule 2 2 em que y = ( x + 3 x ) .

Solução

Façamos 2 u = x + 3x. Assim,

y 2 2 = u , em que u = x + 3x.

Pelo exemplo anterior,

 

Como segue que

 

Observação. 2 Vimos, no Exemplo 7, que sendo y = u com u = u(x) derivável, resulta

 

Por outro lado, Assim,

 

em que deve ser calculado em u = u(x). Provaremos mais adiante que

esta regra ①, conhecida como regra da cadeia, é válida sempre que y =

y(u) e u = u(x) forem deriváveis.

A seguir, provaremos ① num caso particular.

 

Exemplo 9

(Regra da cadeia: um caso particular.) Sejam y = f(u) e u = g(x) funções

deriváveis e tais que, para todo x no domínio de g, g(x) pertença ao

domínio de f. Suponhamos, ainda, que

Δu = g(x + Δx) – g(x) ≠ 0

para todo x e x + Δx no domínio de g, com Δx ≠ 0. Nestas condições, a

composta y = f(g(x)) é derivável e vale a regra da cadeia

 

em que deve ser calculada em u = g(x).

Solução

em que deve ser calculada em u = g(x). Assim

 

Observação. De temos, também,

 

ou seja,

[ f(g(x))]′ = f′(g(x))g′(x).

 

Seja y = f(x). A notação será usada para indicar a derivada

de segunda ordem de a f , em x , isto é, A derivada de 3 ordem

será, também, indicada por e assim por diante.

 

Exemplo 10

Seja 3 y = 3 x – 6x + 2. Calcule

Solução

 

Assim,

 

que é o valor da derivada segunda em x = 0.

 

Exemplo 11

Seja 3 a y = t x em que x = x ( t ) é uma função derivável até a 2 ordem.

Verifique que

 

Solução

 

a) Observe que x é uma função derivável de t. Pela regra do produto,

b) Temos:

 

Exercícios 7.9

 

1. Calcule a derivada.

2. Seja Calcule.

3. 2 Seja y = t x, em que x = x(t) é uma função derivável. Calcule

supondo e x = 3 para t = 1 (isto é, x(1) = 3).

 

4. 3 Considere a função y = xt , na qual x = x(t) é uma função derivável.

Calcule sabendo que e que x(2) = 1 (isto é, x = 1

para t = 2).

 

5. Considere a função na qual t = t(x) é uma função derivável.

Calcule sabendo que e que t = 2 para x = 1.

(Observe que t está sendo olhado como função de x.)

 

6. Seja Verifique que

 

7. Seja constante. Verifique que

 

8. Calcule a derivada segunda.

9. 2 Seja y = x – 3x. Verifique que

 

10. Seja Verifique que

 

11. Seja x = cos t. Verifique que

 

12. x Seja y = e cos x. Verifique que

13. t Seja y = te . Verifique que

 

14. a Suponha que y = y ( r ) seja derivável até a 2 ordem. Verifique que

 

15. 2 a Seja y = x , em que x = x ( t ) é uma função derivável até a 2 ordem.

Verifique que

 

16. a Suponha que x = x ( t ) seja derivável até a 2 ordem. Verifique que