13 Mais Algumas Aplicações da Integral. Coordenadas Polares

13.1 Volume de Sólido Obtido pela Rotação, em Torno

do Eixo x, de um Conjunto A

Seja f contínua em [a, b], com f(x) ≥ 0 em [a, b]; seja B o conjunto obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A do plano limitado pelas retas x = a e x = b, pelo eixo x e pelo gráfico de y = f(x). Estamos interessados em definir o volume V de B.

 

Seja P: a = x < x < x < … < x < x < ... < x = b uma partição de [a, 0 1 2 i − 1 i n b] e, respectivamente, e pontos de mínimo e de máximo de f em [x , i − 1 x ]. Na figura da página anterior, e . Temos: i

= volume do cilindro de altura Δx e base de raio (cilindro i

de “dentro”)

= volume do cilindro de altura Δx e base de raio (cilindro i

de “fora”).

Uma boa definição para o volume de V deverá implicar

 

para toda partição P de [a, b]. Para máx Δx → 0, as somas de Riemann que i comparecem nas desigualdades tendem a ; nada mais natural,

então, do que definir o volume V de B por

 

ou

 

Exemplo 1

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do

conjunto de todos os pares ( 2 2 2 x , y ) tais que x + y ≤ r , y ≥ 0 (r > 0).

Solução

x 2 2 2 + y ≤ r , y ≥ 0, é um semicírculo de raio r. Pela rotação deste

semicírculo em torno do eixo x, obtemos uma esfera de raio r. Temos:

 

Segue que o volume pedido é

 

Exemplo 2

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do

conjunto de todos os pares (x, y) tais que .

Solução

O que queremos é o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do

eixo x, do conjunto sombreado em azul. O volume V pedido é igual a V 2

− V em que V e V são, respectivamente, os volumes obtidos pela 1 2 1

rotação, em torno do eixo x, dos conjuntos A e A sombreados. 2 1

 

Deste modo, o volume V pedido é: .

 

O próximo exemplo é um caso particular do teorema de Pappus (Pappus de

Alexandria, IV século d.C.) para volume de sólido obtido pela rotação, em torno de um eixo, de uma figura plana que não intercepta o eixo. Tal teorema nos diz que, sob determinadas condições, o volume do sólido obtido pela rotação, em torno de um eixo, de uma figura plana que não intercepta tal eixo é igual ao produto da área da figura pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro (ou centro de massa) da figura. (Veja Exercício 3, Seção 13.9.)

Exemplo 3

Considere um retângulo situado no semiplano y ≥ 0 e com um lado

paralelo ao eixo x. Seja P a interseção das diagonais. Mostre que o

volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x é igual ao

produto da área do retângulo pelo comprimento da circunferência

gerada, na rotação, pelo ponto P.

Solução

Consideremos o retângulo

a ≤ x ≤ b e 0 ≤ c ≤ y ≤ d

 

O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, deste

retângulo é

ou seja,

 

e, portanto,

 

em que é o comprimento da circunferência gerada pelo ponto P

e (d − c) (b − a) é a área do retângulo. (Observe que o resultado expresso

neste exemplo continua válido se as expressões “semiplano y ≥ 0” e “em

torno do eixo x” forem substituídas, respectivamente, por “semiplano x ≥

0” e “em torno do eixo y”.)

 

Antes de prosseguirmos, vamos destacar o 2 o Teorema Fundamental do

Cálculo (ou simplesmente Teorema Fundamental do Cálculo) cuja prova é deixada para o Vol. 2. Seja g uma função contínua em um intervalo I e a um ponto de I, a fixo. Assim, para cada x em I, existe. Podemos então

considerar a função que a cada x em I associa o número . Pois bem, o

2 o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que é uma primitiva

de g (x) em I. Vejamos como podemos nos convencer desse fato. Conforme veremos no Vol. 2, sendo g contínua em I, existirá G tal que, para todo x em I, G o ′( x ) = g ( x ). Pelo 1 Teorema Fundamental do Cálculo,

, daí, e lembrando que G (a) é constante, resulta,

para todo x em I,

e, portanto,

 

Agora, podemos prosseguir.

Seja f(x) ≥ 0 e contínua em [a, b]; para cada x em [a, b],

 

é o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto sombreado.

 

Sendo 2 f contínua em [ a , b ], π [ f ( x )] também será contínua neste intervalo. Daí, pelo 2 o Teorema Fundamental do Cálculo,

 

Assim, 2 2 dV = π [ f ( x )] dx , ou seja π [ f ( x )] dx nada mais é do que a diferencial 2 do volume V ( x ). Observe que a diferencial dV = π [ f ( x )] dx é o volume do cilindro gerado, na rotação em torno do eixo x, pelo retângulo de base dx e altura f(x); dV é um valor aproximado para a variação ΔV em V correspondente à variação dx em x. Então, o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x, do conjunto {(x, y)|a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} é obtido calculando-se a integral da diferencial do volume para x variando de a a b.

 

Exercícios 13.1

 

1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do

conjunto de todos os pares (x, y) tais que

a) 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x.

b)

c)

d 2 2 ) 2 x + y ≤ 1 e y ≥ 0.

e 2 2 ) y ≥ 0, 1 ≤ x ≤ 2 e x − y ≥ 1.

f)

g 2 ) x ≤ y ≤ x.

h 2 2 ) 0 ≤ y ≤ x e x + y ≤ 2.

i 2 2 2 ) y ≥ x e x + y ≤ 2.

j 2 2 ) 1 ≤ x + y ≤ 4 e y ≥ 0.

l)

m) 2 2 x + ( y − 2) ≤ 1.

2. (Teorema de Pappus para a elipse.) Considere o conjunto A de todos os

pontos (x, y) tais que

 

e situado no semiplano y ≥ 0. Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A é igual ao produto da área da elipse pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo centro (α, β) desta elipse.

 

3. Considere um triângulo isósceles situado no semiplano y ≥ 0 e com base

paralela ao eixo x. Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação