15 Teoremas de Rolle, do Valor Médio e de Cauchy

15.1 Teorema de Rolle

Teorema (de Rolle). Se f for contínua em [a, b], derivável em ]a, b[ e f(a) = f(b), então existirá

pelo menos um c em ]a, b[ tal que f′(c) = 0.

Demonstração Se f for constante em [a, b], então f′(x) = 0 em ]a, b[; logo, existirá c em ]a, b[ tal que f′(c) = 0. Suponhamos, então, que f não seja constante em [a, b]. Como f é contínua no intervalo fechado [a, b], pelo teorema de Weierstrass, existem x e x em [a, b], tais que f(x ) e f(x ) são, respectivamente, os valores 1 2 1 2 máximo e mínimo de f em [a, b]. Como f(x ) ≠ f(x ), pois estamos supondo f 1 2 não constante em [a, b], segue que x ou x pertence a ]a, b[ (estamos usando 1 2 aqui a hipótese f(a) = f(b)), daí f′(x ) = 0 ou f′(x ) = 0. Portanto, existe c em 1 2 ]a, b[ tal que f′(c) = 0.

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Exercícios 15.1

1. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial f existe

pelo menos uma raiz de f′.

2. Suponha f derivável em ℝ. Prove que entre duas raízes consecutivas de f′

há, no máximo, uma raiz de f.

3. Sejam f e g contínuas em [a, b] e deriváveis em ]a, b[, com g (x) ≠ 0 em [a,

b]. Suponha, ainda, que f(a) = g (a) e f(b) = g (b). Prove que existe c em ]a, b[ tal que f′(c) g (c) = f(c) g′(c).

4. Suponha f contínua em [a, b], derivável em ]a, b[ e tal que f(a) = f(b) = 0.

Suponha, ainda, que 0 < a. Prove que existe c em ]a, b[ tal que f′(c) =

. Interprete geometricamente.

5. n Prove que se , então a + a x + … + a x = 0 1 n

0 tem pelo menos uma raiz em ]0, 1[.

6. a Suponha f derivável até a 2 ordem em ℝ e tal que

Prove que f(x) = 0 em [a, b].

7. a Suponha f contínua em [ a , b ] e derivável até a 2 ordem em ]a, b[. Sejam

x , x e x pontos de [a, b], com x < x < x , e tais que f(x ) = f(x ) 0 1 2 0 1 2 0 1 = f(x ) = 0. Prove que existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que f″(c) = 0. 2

8. a Suponha f contínua em [ a , b ] e derivável até a 3 ordem em ]a, b[. Sejam

x , x , x e x pontos de [a, b], com x < x < x < x , e tais que 0 1 2 3 0 1 2 3 f(x ) = f(x ) = f(x ) = f(x ) = 0. Prove que existe pelo menos um c em 0 1 2 3

]a, b[ tal que f″(c) = 0. Generalize.

9. a Suponha f contínua em [ a , b ] e derivável até a 3 ordem em ]a, b[. Sejam

x , x e x pontos de [a, b], com x < x < x , e P (x) o polinômio de 0 1 2 0 1 2 grau no máximo 2 e, portanto, da forma 2 P ( x ) = a x + a x + a , tais

0 1 2

que

P (x ) = f(x ), P (x ) = f(x ) e P (x ) = f(x ). 0 0 1 1 2 2

Seja z um ponto de [a, b], com z ∉ {x , x , x } e seja α o número real 0 1 2 tal que

f(z) = P (z) + (z − x ) (z − x ) (z − x )α. 0 1 2

Prove que existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que α = .

(Sugestão: Considere a função

F (x) = f(x) − P (x) − (x − x ) (x − x ) (x − x )α 0 1 2