1.2 Os Números Reais

sendo a par, será da forma a = 2p, p inteiro;

 

Assim, 2 b é par e, portanto, b também o é; sendo a e b pares, a

fração é redutível, contradição.

 

Vejamos, agora, como construir um ponto da reta que não tenha abscissa

racional.

 

Pelo teorema de Pitágoras, 2 2 2 d = 1 + 1 = 2 (veja figura acima);

assim a abscissa de P deveria ser d que não é número racional (Exemplo 2).

Admitiremos que todo ponto da reta tem uma abscissa x; se x não for

racional, diremos que x é irracional. O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais que será indicado por ℝ.

 

1.2 Os Números Reais

Como dissemos na seção anterior, o conjunto dos números reais será indicado por ℝ. ℝ contém ℚ, isto é, todo número racional é um número real. Os números reais que não são racionais denominam-se irracionais.

Em ℝ estão definidas duas operações, adição (+) e multiplicação (·) e

uma relação (≤). A adição associa a cada par (x, y) de números reais um único número real indicado por x + y; a multiplicação, um único real indicado por x · y. As operações de adição e multiplicação definidas em ℝ, quando restritas a ℚ, coincidem com as operações de adição e de multiplicação de Q; o mesmo acontece com a relação (≤).

Admitiremos que a quádrupla (ℝ, +, ·, ≤) é um corpo ordenado, isto é,

satisfaz todas as 15 propriedades listadas na seção anterior: (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (O4), (OA) e (OM). Reveja tais propriedades.

Os exemplos que damos a seguir mostram como obter outras

propriedades a partir das já mencionadas.

Exemplo 1

Quaisquer que sejam os reais x, y, z, w

 

(Somando-se membro a membro desigualdades de mesmo sentido,

obtém-se outra de mesmo sentido.)

Solução

Pela (OA)

x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z

z ≤ w ⇒ y + z ≤ y + w.

Pela transitiva (O3)

Portanto,

 

Como observamos anteriormente, a adição associa a cada par de

números reais um único número real; assim, se x = y e z = w, então x + z = y + w; em particular, se x = y, então x + z = y + z para todo z, o que significa que, somando a ambos os membros de uma igualdade um mesmo número, a igualdade se mantém.

Exemplo 2

(Lei do cancelamento.) Quaisquer que sejam os reais x, y, z.

x + z = y + z ⇒ x = y.

Solução

Somando-se –z a ambos os membros da igualdade x + z = y + z, vem:

(x + z) + (–z) = (y + z) + (–z).

Pela associativa (A1),

x + [z + (–z)] = y + [z + (–z)].

Daí,

x + 0 = y + 0

ou seja,

x = y.

Assim,

x + z = y + z ⇒ x = y.

 

Exemplo 3

Quaisquer que sejam os reais x, y, z, w

 

(Multiplicando-se membro a membro desigualdades de mesmo

sentido e de números positivos, obtém-se desigualdade de mesmo

sentido.)

Solução

 

Vamos, agora, fazer uma lista de outras propriedades dos reais que

podem ser obtidas das 15 anteriormente listadas e que nos serão úteis no decorrer do curso.

Quaisquer que sejam os reais x, y, z, w, tem-se:

a) x < y ⇔ x + z < y + z.

b –1 ) z > 0 ⇔ z > 0.

c) z > 0 ⇔ –z < 0.

d) se z > 0, x < y ⇔ xz < yz.

e) se z < 0, x < y ⇔ xz > yz.

(Multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, o sentido da desigualdade muda.)

 

h) (Tricotomia.) Uma e somente uma das condições abaixo se verifica:

x < y ou x = y ou x > y.

i) (Anulamento do produto.)

xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0.

(Um produto é nulo se e somente se um dos fatores for nulo.)

Exemplo 4

Suponha x ≥ 0 e y ≥ 0. Prove:

a) 2 2 x < y ⇒ x < y .

b) 2 2 x ≤ y ⇒ x ≤ y .

c) 2 2 x < y ⇔ x < y .

Solução

b) Faça você.

c) 2 2 2 2 Por ( a ), x < y ⇒ x < y . Suponhamos, agora x < y ; se

tivéssemos 2 2 x ≥ y , por ( b ) teríamos x ≥ y , contradição. Assim, x 2 2 < y ⇒ x < y. Fica provado, deste modo, que quaisquer que sejam os reais x ≥ 0 e y ≥ 0

x 2 2 < y ⇔ x < y .

 

Exemplo 5

Resolva a inequação.

5x + 3 < 2x + 7.

Solução

 

Assim, é o conjunto das soluções da inequação dada.

 

Exemplo 6

Estude o sinal da expressão x – 3.

Solução

x – 3 > 0 ⇔ x > 3; x – 3 = 0 ⇔ x = 3; x – 3 < 0 ⇔ x < 3.

Assim, x – 3 > 0 para x > 3; x – 3 < 0 para x < 3 e x – 3 = 0 para x

= 3. Esta discussão será representada da seguinte forma:

 

Exemplo 7

Estude o sinal de

Solução

( ∄ = não existe.)

Conclusão

 

Exemplo 8

Resolva a inequação

Solução

Inicialmente, estudaremos o sinal de

Assim, é o conjunto das soluções da inequação

dada.

 

Exemplo 9

Resolva a inequação

Solução

 

Multiplicando por –1 ambos os membros da última desigualdade,

resulta:

Assim, Logo,

é o conjunto das soluções da inequação dada.

 

CUIDADO!

 

A equivalência será verdadeira para x > –2, pois, x > –2 ⇒ x + 2 >

0; multiplicando, então, ambos os membros da desigualdade por x +

2, o sentido se manterá; assim, para x > –2,

 

Por outro lado, para x < –2,

Exercícios 1.2

 

 

1. Resolva as inequações.

a) 3x + 3 < x + 6

b) x – 3 > 3x + 1

c) 2x – 1 ≥ 5x + 3

d) x + 3 ≤ 6x – 2

e) 1 – 3x > 0

f) 2x + 1 ≥ 3x

 

2. Estude o sinal das expressões.

a) 3x – 1

b) 3 – x

c) 2 – 3x

d) 5x + 1

 

f) (2x + 1)(x – 2)

i) (2x – 1)(3 + 2x)

j) x(x – 3)

l) x(x – 1)(2x + 3)

m) (x – 1)(1 + x)(2 – 3x)

n 2 ) x ( x + 3)

o 2 ) (2 x – 1)( x + 1)

p) ax + b, em que a e b são reais dados, com a > 0.

q) ax + b, em que a < 0 e b são dois reais dados.

 

3. Resolva as inequações.

 

d) (2x – 1)(x + 3) < 0

 

f) x(2x – 1) ≥ 0

g) (x – 2)(x + 2) > 0

 

l) x(2x – 1)(x + 1) > 0

m) (2x – 1)(x – 3) > 0

n 2 ) (2 x – 3)( x + 1) < 0

 

4. 3 3 3 3 2 Divida x – a por x – a e conclua que x – a = ( x – a )( x + ax +

a 2 ).

 

5. Verifique as identidades.

a 2 2 ) x – a = (x – a)(x + a)

b 3 3 2 2 ) x – a = ( x – a )( x + ax + a )

c 4 4 3 2 2 3 ) x – a = ( x – a )( x + ax + a x + a )

d 5 5 4 3 2 2 3 4 ) x – a = ( x – a )( x + ax + a x + a x + a )

e n n n – 1 n – 2 2 n – 3 n – 2 ) x – a = ( x – a )( x + ax + a x + … + a x +

a n – 1 ) em que n ≠ 0 é um natural.

 

6. Simplifique.

7. Resolva as inequações.

a 2 ) x – 4 > 0

b 2 ) x – 1 ≤ 0

c 2 ) x > 4

d 2 ) x > 1

g 2 ) (2 x – 1)( x – 4) ≤ 0

h 2 ) 3 x ≥ 48

i 2 2 ) x < r , em que r > 0 é um real dado.

j 2 2 ) x ≥ r , em que r > 0 é um real dado.

 

8. o 2 Considere o polinômio do 2 grau ax + bx + c, em que a ≠ 0, b e c

são reais dados.

a) Verifique que

 

b 2 ) Conclua de ( a ) que, se Δ ≥ 0, as raízes de ax + bx + c são dadas

pela fórmula

 

c 2 ) Sejam as raízes de ax +

bx + c. Verifique que

 

9. o 2 Considere o polinômio do 2 grau ax + bx + c e sejam x e x 1 2

como no item (c) do Exercício. Verifique que

ax 2 + bx + c = a(x – x )(x – x ).

1 2

 

10. o Utilizando o Exercício 9, fatore o polinômio do 2 grau dado.

a 2 ) x – 3x + 2

b 2 ) x – x – 2

c 2 ) x – 2x + 1

d 2 ) x – 6x + 9

e 2 ) 2 x – 3x

f 2 ) 2 x – 3x + 1

g 2 ) x – 25

h 2 ) 3 x + x – 2

i 2 ) 4 x – 9

j 2 ) 2 x – 5x

 

11. Resolva as inequações.

a 2 ) x – 3x + 2 < 0

b 2 ) x – 5x + 6 ≥ 0

c 2 ) x – 3x > 0

d 2 ) x – 9 < 0

e 2 ) x – x – 2 ≥ 0

f 2 ) 3 x + x – 2 > 0

g 2 ) x – 4x + 4 > 0

h 2 ) 3 x – x ≤ 0

i 2 ) 4 x – 4x + 1 < 0

j 2 ) 4 x – 4x + 1 ≤ 0

 

12. o 2 Considere o polinômio do 2 grau ax + bx + c e suponha Δ < 0.

Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove:

a 2 ) se a > 0, então ax + bx + c > 0 para todo x.

b 2 ) se a < 0, então ax + bx + c < 0 para todo x.

 

13. Resolva as inequações.

a 2 ) x + 3 > 0

b 2 ) x + x + 1 > 0

c 2 ) x + x + 1 ≤ 0

d 2 ) x 1 = ≤ 0

e 2 ) ( x – 3)( x + 5) > 0

f 2 ) (2 x + 1)( x + x + 1) ≤ 0

g 2 ) x ( x + 1) ≥ 0

h 2 ) (1 – x )( x + 2x + 2) < 0

 

14. Prove:

 

15. A afirmação:

 

“para todo x real, é

falsa ou verdadeira?

 

Justifique.

 

16. n n –1 Suponha que P ( x ) = a x + a x + … + a x + a seja um 0 1 n 21 n

polinômio de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a ≠ 0, a , a , 0 1 2 …, a são números inteiros. Seja α um número inteiro. Prove que se α n

for raiz de P(x), então α será um divisor do termo independente a . n

Utilizando o Exercício 16, determine, caso existam, as raízes inteiras

17.

da equação.

a 3 2 ) x + 2 x + x – 4 = 0

b 3 2 ) x – x + x + 14 = 0

c 4 3 2 ) x – 3 x + x + 3x = 2

d 3 2 ) 2 x – x – 1 = 0

e 3 2 ) x + x + x – 14 = 0

f 3 2 ) x + 3 x – 4x – 12 = 0

 

18. Seja P(x) um polinômio de grau n. Prove:

 

α é raiz de P(x) ⇔ P(x) é divisível por x – α.

 

(Sugestão: dividindo-se P(x) por x – α, obtém-se um quociente Q(x) e um resto R, R constante, tal que P(x) = (x – α) Q(x) + R.)

 

19. Fatore o polinômio dado.

a 3 2 ) x + 2 x – x – 2

b 4 3 2 ) x – 3 x + x + 3x – 2

c 3 2 ) x + 2 x – 3x

d 3 2 ) x + 3 x – 4x – 12

e 3 2 ) x + 6 x + 11x + 6

f 3 ) x – 1

 

20. Resolva as inequações.

a 3 ) x – 1 > 0

b 3 2 ) x + 6 x + 11x + 6 < 0

c 3 2 ) x + 3 x – 4x – 12 ≥ 0

d 3 2 ) x + 2 x – 3x < 0

 

21. A afirmação:

 

“quaisquer que sejam os reais 2 2 x e y , x < y ⇔ x < y ” é falsa ou verdadeira? Justifique.

 

22. 3 3 Prove que quaisquer que sejam os reais x e y , x < y ⇔ x < y .

 

23. Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as

propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (O4), (OA) e (OM). Supondo x, y reais quaisquer, prove:

a) x · 0 = 0.