9.3 Concavidade e Pontos de Inflexão

19. Sejam f, g duas funções deriváveis em ]a, b[, tais que f′(x) < g′(x) x em ]a,

b[. Suponha que exista c em ]a, b[, com f(c) = g (c). Prove que f(x) < g  (x)para x > c e f(x) > g (x)para x < c.

 

9.3 Concavidade e Pontos de Inflexão

Seja f derivável no intervalo aberto I e seja p um ponto de I. A reta tangente em (p, f(p)) ao gráfico de f é

y − f(p) = f′(p)(x − p) ou y = f(p) + f′(p)(x − p).

Deste modo, a reta tangente em ( p, f ( p)) é o gráfico da função T dada por

T (x) = f(p) + f′(p)(x − p).

 

Definição 1. Dizemos que f tem a concavidade para cima no intervalo aberto I se

f(x) > T (x)

quaisquer que sejam x e p em I, com x ≠ p.

 

Definição 2. Dizemos que f tem a concavidade para baixo no intervalo aberto I se

f(x) < T (x)

quaisquer que sejam x e p em I, com x ≠ p.

 

Definição 3. Sejam f uma função e p ∈ D , com f contínua em p. Dizemos que p é ponto de f

in exão de f se existirem números reais a e b, com p ∈ ]a, b[ ⊂ D , tal que f tenha concavidades f

de nomes contrários em ]a, p[ e em ]p, b[.

 

Teorema. a Seja f uma função que admite derivada até a 2 ordem no intervalo aberto I.

a) Se f ′′(x) > 0 em I, então f terá a concavidade para cima em I.

b) Se f ′′(x) < 0 em I, então f terá a concavidade para baixo em I.

 

Demonstração

a) Seja p um real qualquer em I. Precisamos provar que, para todo x em I, x ≠

p,

f(x) > T (x) em que T (x) = f( p) + f′(p) (x − p).

Consideremos a função g (x) = f(x)− T (x), x ∈ I; vamos provar que g (x) >

0 para todo x em I, x ≠ p.

 

Temos

 

daí

 

Como f′′(x) > 0 em I, segue que f′ é estritamente crescente em I. Então,

 

Segue que g é estritamente decrescente em {x ∈ I| < p} e estritamente

crescente em {x ∈ I| x > p}. Como g (p) = 0, resultado

g (x) > 0

para todo x em I, x ≠ p.

b) Fica a seu cargo.

■

Exemplo 1

Seja Estude f com relação à concavidade e determine os

pontos de inflexão.

Solução

 

então,

 

Pontos de inflexão: −1 e 1.

 

Exemplo 2

Esboce o gráfico de

Solução

 

Pontos de inflexão: −1 e 1.

 

Exemplo 3

Seja a f derivável até a 3 ordem no intervalo aberto I e seja p ∈ I.

Suponha que f′′(p) = 0, f′′′(p) ≠ 0 e que f′′′ seja contínua em p. Prove que

p é ponto de inflexão.

Solução

Para fixar o raciocínio, suponhamos f′′′(p) > 0. Como f′′′ é contínua em p,

pela conservação do sinal, existe r > 0 (que pode ser tomado de modo

que ]p − r, p + r[ esteja contido em I) tal que:

f′′′(x) > 0 em ]p − r, p + r[.

Segue que f′′ é estritamente crescente em ]p − r, p + r[. Então,

 

implica

 

logo, p é ponto de inflexão.

 

Exemplo 4

Seja a f derivável até a 2 ordem no intervalo aberto I e seja p ∈ I.

Suponha f′′ contínua em p. Prove que f′′(p) = 0 é condição necessária

(mas não suficiente) para p ser ponto de inflexão de f.

Solução

Se f′′(p) ≠ 0, pela conservação do sinal, existe r > 0 tal que f′′(x)tem o

mesmo sinal que f′′(p) em ]p − r, p + r[, logo p não poderá ser ponto de

inflexão. Fica provado, assim, que, se p for ponto de inflexão, deveremos

ter necessariamente f′′(p) = 0. Para verificar que a condição não é

suficiente, basta olhar para a função 4 f ( x ) = x : f′′(0) = 0, mas 0 não é

ponto de inflexão.

 

Exercícios 9.3

 

1. Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

2. Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.

 

3. 3 2 Seja f ( x ) = ax + bx + cx + d, a ≠ 0. Prove que f admite um único ponto

de inflexão.

 

4. Se p for ponto de inflexão de f e se f′(p) = 0, então diremos que p é ponto

de inflexão horizontal de f. Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão horizontal de f.

 

5. Se p for ponto de inflexão de f e se f′(p) ≠ 0, então diremos que p é ponto

de inflexão oblíquo de f. Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão oblíquo de f.

6. a Sejam f uma função derivável até a 5 ordem no intervalo aberto I e p ∈

I (5) . Suponha f contínua em p. Prove que

f (4) (5) ′′( p ) = f ′′′( p ) = f ( p ) = 0 e f (p) ≠ 0

 

é uma condição suficiente para p ser ponto de inflexão de f. Generalize tal resultado.

 

7. a Seja f derivável até a 2 ordem em R e tal que, para todo x, xf′′(x) + f′(x) =

4.

a) Mostre que f′′ é contínua em todo x ≠ 0

b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal

 

8. 5 4 3 Seja f ( x ) = x + bx + cx − 2x + 1.

a) Que condições b e c devem satisfazer para que 1 seja ponto de inflexão

de f? Justifique.

b) Existem b e c que tornam 1 ponto de inflexão horizontal? Em caso

afirmativo, determine-os.

 

9. Suponha que f′′(x) > 0 em ]a, +∞[e que existe x > a tal que f′(x ) > 0. 0 0

Prove que

 

10. Seja f definida e derivável no intervalo aberto I, com 1 ∈ I, tal que