5 Teoremas do Anulamento, do Valor Intermediário e de Weierstrass

Os teoremas do anulamento (ou de Bolzano), do valor intermediário e de Weierstrass são fundamentais para o desenvolvimento do curso. Neste capítulo, apresentaremos seus enunciados e faremos algumas aplicações; as demonstrações são deixadas para o Apêndice B.

 

Teorema (do anulamento ou de Bolzano). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e se

f(a) e f(b) tiverem sinais contrários, então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = 0.

Exemplo 1

Mostre que a equação 3 x – 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real.

Solução

Consideremos a função 3 f ( x ) = x – 4x + 8; temos f(0) = 8, f(–3) = –7 e f é

contínua em [–3, 0] (os números 0 e –3 foram determinados por

inspeção), segue do teorema do anulamento que existe pelo menos um c

em [–3, 0] tal que 3 f ( c ) = 0, isto é, a equação x – 4x + 8 = 0 admite pelo

menos uma raiz real entre –3 e 0.

 

Teorema (do valor intermediário). Se f for contínua em [a, b] e se γ for um real compreendido

entre f(a) e f(b), então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = γ.

 

Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do

valor intermediário.

Teorema (de Weierstrass). Se f for contínua em [a, b], então existirão x e x em [a, b] tais 1 2

que f(x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ) para todo x em [a, b].

 

O teorema de Weierstrass nos conta que, se f for contínua em [a, b], então

existirão x e x em [a, b] tais que f(x ) é o valor mínimo de f em [a, b] e 1 2 1 f(x ) o valor máximo de f em [a, b]. Ou de outra forma: se f for contínua em 2

[a, b], então f assumirá em [a, b] valor máximo e valor mínimo. Chamamos sua atenção para o fato de a hipótese de f ser contínua no intervalo fechado [a, b] ser indispensável; por exemplo, x ∊ ]0, 1], é contínua em ]0, 1], mas

não assume, neste intervalo, valor máximo.

Exemplo 2

Prove que o conjunto

 

admite máximo e mínimo.

Solução

é contínua em segue, do teorema de Weierstrass,

que existem x e x em tais que f(x ) é o valor mínimo de f em 1 2 1

e f(x ) o valor máximo de f neste intervalo. Assim 2

 

Veremos, mais adiante, como determinar x e x . 1 2

 

Exercícios

 

1. 5 Seja f ( x ) = x + x + 1. Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz

no intervalo [–1, 0].

 

2. 3 Prove que a equação x – 4x + 2 = 0 admite três raízes reais distintas.

 

3. 3 Seja α a menor raiz positiva da equação x – 4x + 2 = 0. Determine

intervalos de amplitudes e que contenham α.

4. Prove que a equação admite ao menos uma raiz real.

 

5. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo.

 

6. Seja f: [–1, 1] → ℝ dada por

a) Prove que f(1) é o valor máximo de f.

b) Prove que existe x ∊ ]–1, 0 [ tal que f(x ) é o valor mínimo de f. 1 1

 

7. a) Prove que todo polinômio do grau 3 admite pelo menos uma raiz real.

b) Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz

real.

 

8. Seja f: [a, b] → ℝ uma função contínua e suponha que f não seja constante

em [a, b]. Prove que existem números reais m e M, com m < M, tais que Im f = [m, M].

 

(Observação: Imagem de f = Im f = {f(x) | x ∊ [a, b]}.)

 

9. Seja f: I → ℝ contínua, em que I é um intervalo qualquer. Prove que a

imagem de f é um intervalo.

 

10. Suponha que f: [0, 1] → ℝ seja contínua, f(0) = 1 e que f(x) é racional para

todo x em [0, 1]. Prove que f(x) = 1, para todo x em [0, 1].

 

11. Seja f: [0, 1] → ℝ contínua e tal que, para todo x em [0, 1], 0 ≤ f(x) ≤ 1.

Prove que existe c em [0, 1] tal que f(c) = c.

12. Seja f contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Suponha que quaisquer que

sejam s e t em [a, b], s ≠ t ⇒ f(s) ≠ f(t). Prove que f é estritamente crescente em [a, b].

 

(Observação: f estritamente crescente em [a, b] ⇔ ∀ s, t em [a, b], s < t ⇒ f(s) < f(t).)

 

13. Suponha f contínua no intervalo I e que f admita neste intervalo uma única

raiz a. Suponha, ainda, que existe x em I, com x > a, tal que f(x ) > 0. 0 0 0 Prove que, para todo x em I, com x > a, f(x) > 0.

 

14. Considere a função f dada por

 

a) Verifique que f é contínua em [0, +∞[.

b) Mostre que 1 é a única raiz de f em ]0, +∞[, que f(2) > 0 e que

 

c) Conclua que f(x) > 0 em ]1, +∞[ e que f(x) < 0 em ]0, 1[.

 

15. Suponha f contínua em I e sejam a e b pertencentes a I, com a < b, as

únicas raízes de f em I. Sejam x , x e x em I com x < a, a < x < b e 0 1 2 0 1 b < x . Estude o sinal de f em I, a partir dos sinais de f(x ), f(x ) e f(x ). 2 0 1 2 Justifique.

OceanofPDF.com