Um Curso de Cálculo, Volume 1
2.4 Operações com Funções
Sejam f e g duas funções tais que D ∩ D seja diferente do vazio. Definimos: f g a) A função f + g dada por
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
denomina-se soma de f e g. O domínio de f + g é D ∩ D . Observe que f f g + g é uma notação para indicar a função dada por y = f(x) + g(x).
b) A função f · g dada por
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
denomina-se produto de f e g. O domínio de f · g é D ∩ D . f g
c) A função dada por
denomina-se quociente de f e g. O domínio de
d) A função kf, k constante, dada por
(kf)(x) = kf(x)
é o produto de f pela constante k; D = D . kf f
Exemplo 1
Sejam
Sendo f uma função, definimos a imagem de f por
De nição (de função composta). Sejam f e g duas funções tais que Im f ⊂ D . A função dada g
por
y = g(f(x)), x ∊ D , f
denomina-se função composta de g e f. É usual a notação g ° f para indicar a composta de g e f.
Assim,
(g ° f)(x) = g(f(x)), x ∊ D . f
Observe que g ° f tem o mesmo domínio que f.
Exemplo 2
Sejam 2 f e g dadas por f ( x ) = 2 x + 1 e g ( x ) = x + 3x. Determine g ° f e f °
g.
Solução
( 2 2 g ° f )( x ) = g ( f ( x )) = [ f ( x )] + 3[ f ( x )] = (2 x + 1) + 3(2x + 1), x ∊ ℝ =
D . f
( 2 2 f ° g )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x + 3 x ) = 2( x + 3x) + 1, x ∊ D = ℝ.
g
Exemplo 3
Sejam Determine g ° f e f ° g.
Solução
De nição (de igualdade de funções). Sejam as funções f : A → ℝ e g : A′ → ℝ. Dizemos que f é
igual a g, e escrevemos f = g, se os domínios de f e g forem iguais, A = A′, e se, para todo x ∊ A, f(x)
= g(x).
Exemplo 4
Sejam f : A → ℝ e g : A → ℝ duas funções. Prove que f + g = g + f.
Solução
D = A = D . f + g g + f
Por outro lado, para todo x em A,
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x).
Assim,
f + g = g + f.
Observe que f(x) + g(x) = g(x) + f(x), pois f(x) e g(x) são números reais e,
em ℝ, vale a propriedade comutativa.
Exemplo 5
As funções f e g dadas por são
iguais?
Solução
f ≠ g, pois D ≠ D (Df = [1, +∞ [ e D = ] –∞ 0] ∪ [1, +∞[). f g g
Exercícios 2.4
1. Dê os domínios e esboce os gráficos de
2. Verifique que Im f ⊂ D e determine a composta h(x) = g(f(x)). g
a) g(x) = 3x + 1 e f(x) = x + 2
d 2 ) g ( x ) = – x + 3x + 1 e f(x) = 2x – 3
3. Determine o “maior” conjunto A tal que Im f ⊂ D ; em seguida, construa g
a composta h(x) = g(f(x)).
4. Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x ∊ D , sendo g dada por f
c 2 ) g ( x ) = x , x ≥ 0
d 2 ) g ( x ) = x – 2x, x ≥ 1
f 2 ) g ( x ) = x – 4x + 3, x ≥ 2
OceanofPDF.com