Um Curso de Cálculo, Volume 1
13.4 Área de Superfície de Revolução
Calcule o volume do sólido cuja base é um triângulo equilátero de lado l e
4. cujas seções perpendiculares a um dos lados são quadrados.
13.4 Área de Superfície de Revolução
Sabe-se da geometria que a área lateral de um tronco de cone circular reto, de geratriz g, raio da base maior R e raio da base menor r, é igual à área do trapézio de altura g, base maior 2πR e base menor 2πr :
Sendo S o ponto médio do segmento PQ.
Observe que a área da superfície gerada pela rotação da geratriz, em torno do eixo PQ, é igual ao produto do comprimento g desta geratriz pelo comprimento 2πs da circunferência gerada pelo ponto médio da geratriz. Este resultado é um caso particular do Teorema de Pappus para superfícies de revolução. (Veja Exercício 9, Seção 13.9.)
Vamos, agora, estender o conceito de área para superfície obtida pela
rotação, em torno do eixo x, do gráfico de uma função f, com derivada contínua e f(x) ≥ 0 em [a, b].
Seja, então, P: a = x < x < x < … < x = b uma partição de [a, b] e 0 1 2 n
o ponto médio do intervalo [x , x ]. i − 1 i
Na figura, f′(c ) = tg α ; o segmento M M é tangente ao gráfico de f no i i i − 1 i ponto (c , f(c )). Então i i
A área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do segmento M i
− 1 M (observe que tal superfície nada mais é do que a superfície lateral de um i
tronco de cone de geratriz ) é:
e se Δx for suficientemente pequeno esta área será uma boa aproximação para i
a “área” da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do trecho do gráfico entre as retas x = x e x = x . Observe que trocando f(c ) por c na i − 1 i i i igualdade acima, Δx será uma boa aproximação para a “área” da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, do trecho do gráfico acima mencionado.
Como a função é contínua em [a, b], teremos
Definimos a área A da superfície obtida pela rotação do gráfico de f, em x
torno do eixo x, por
De forma análoga, a área A da superfície obtida pela rotação, em torno do y
eixo y, do gráfico de f será
Exemplo 1
Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do
gráfico de f(x) = sen x, 0 ≤ x ≤ π.
Solução
Integrando por partes:
Daí
ou seja,
Portanto, área = .
Exemplo 2
Determine a área da superfície obtida pela rotação, em torno do eixo y,
do gráfico de y = , 0 ≤ x ≤ 1.
Solução
De , vem
Exercício 13.4
1. Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do
gráfico da função dada.
a)
b)
c)
d)