Um Curso de Cálculo, Volume 1
F.6 Propriedades da Multiplicação
Exercícios
Prove que, se a e b são dois racionais quaisquer, então a*b* = (ab)*.
F.6 Propriedades da Multiplicação
Nesta seção, vamos provar as propriedades (M1), (M2), (M3), (M4), (D) e (OM). Para provar (M4), precisamos do
Lema. Sejam α > 0* um número real e u, racional, com 0 < u < 1. Então, existem racionais p ∈
α, q ∈ M , com q ≠ mín M , (caso M admita mínimo), tais que . (M é o α α α α
conjunto das cotas superiores de α.)
Demonstração
Fica a cargo do leitor. (Sugestão: Tome um s ∉ α e, para cada natural n, considere o racional n q = su ; agora, proceda como na demonstração do lema
n
da Seção F.4.)
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Teorema. Sejam α, β e γ reais quaisquer. α multiplicação veri ca as seguintes propriedades:
M1) (αβ)γ = a(βγ).
M2) αβ = βα.
M3) α · 1* = α.
M4) Se α ≠ 0*, existe β ∈ ℝ tal que α · β = 1*.
D) α(β + γ) = αβ + αγ.
OM) α ≤ β e 0* ≤ γ ⇒ αγ ≤ βγ.
Demonstração
(M1) e (M2) ficam a seu cargo.
(M3) Suponhamos, inicialmente α > 0*. Precisamos provar que α · 1* ⊂ α
e α ⊂ α · 1*.
Lembramos, inicialmente, que α · 1* = ℚ_ ⊂ {ab | a ∈ α, a > 0, 0 < b <
1}.
x ∈ α · 1* e x ≤ 0 ⇒ x ∈ α.
x ∈ α · 1* e x > 0 ⇒ x = au, com a ∈ α, a > 0 e 0 < u < 1. De u < 1 e a > 0, segue au < a e, portanto, x = au ∈ α. Fica provado, deste
modo, que a · 1* ⊂ a.
x ∈ α e x ≤ 0 ⇒ x ∈ α · 1*.
x ∈ α e x > 0 ⇒ ∃a ∈ α, com x < a.
Provamos, assim, que se α > 0*, então α · 1* = α. Se α = 0*, pela definição de produto, α · 1* = 0* · 1* = 0* = α. Se α < 0*, α · 1* = −[(−α) · 1*] = −[−α] = α. Segue que, para todo α ∈ ℝ, α · 1* = α.
(M4) Fica a cargo do leitor. (Sugestão: Suponha, inicialmente, α > 0* e considere o número real
Proceda, então, como na demonstração de (A4) e conclua que α · β = 1*. Se α < 0*, −α > 0*, logo, existe β tal que (−α) · β = 1*, mas, (−α)β = α ·
(−β); logo, α(−β) = 1*.
(D) Precisamos provar que
α (β+ γ) ⊂ αβ + αγ e α (β+ γ) ⊃ αβ + αγ.
x ∈ α (β + γ) e x ≤ 0 ⇒ x ∈ αβ + αγ.
x ∈ α (β + γ) e x > 0 ⇒ x = ad para algum a > 0, a ∈ α, e para algum d ∈ β + γ, d > 0.
d ∈ β + γ ⇒ d = b + c, com b ∈ β e c ∈ γ.
Assim, x = ab + ac ∈ αβ + αγ, pois, ab ∈ α · β e ac ∈ αγ. Portanto, α (β +
γ) ⊂ αβ + αγ.
x ∈ αβ + αγ e x ≤ 0 ⇒ x ∈ α (β + γ).
Suponhamos, então, x > 0 e x ∈ αβ + αγ. Como αβ > 0* e αγ > 0*, existem
u ∈ αβ, u > 0 e v ∈ αγ, v > 0, tais que x = u + v. (Verifique.)