17.2 Pascal e o Cálculo de Áreas

que é contradição, pois para todo n

 

Prova da Segunda Etapa.

suponhamos, agora, . Das propriedades I e II acima, existe um

natural n tal que

 

e, portanto,

 

Segue que

 

que é uma contradição.

Se a área do segmento parabólico não pode ser maior e tampouco menor

que , resulta que tal área é exatamente . Em consequência, a área da

região limitada pela parábola 2 y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b é .

 

17.2 Pascal e o Cálculo de Áreas Pela fórmula de Arquimedes para a área de um segmento de parábola, segue, como vimos na seção anterior, que a área da região limitada pela curva 2 y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b é . Passados quase

dois mil anos dessa descoberta de Arquimedes, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) interessou-se pelo cálculo da área da região limitada pela curva k y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b, com k ≥ 3 e natural. Utilizando o seu método dos indivisíveis, Cavalieri provou, para k de 3 até 9, a fórmula para a área de tal região e afirmou que a fórmula era

válida para todo k. Nesta seção, utilizando as ideias de Blaise Pascal (1623-1662), vamos mostrar como chegar rapidamente e de forma maravilhosa a esta fórmula, e na próxima seção veremos como Fermat brincou com esse problema.

Para se chegar à fórmula, divide-se o intervalo [0, b] em n partes iguais

e considera-se a soma S (n) das áreas dos retângulos de base e altura

, para i = 1, 2, …, n (veja a figura abaixo).

E, portanto,

 

Indicando por k k k k S a soma 1 + 2 + 3 + … + n , resulta

k

 

Para resolver o problema, basta determinar o limite de para n

tendendo a +∞. E isto se faz utilizando a identidade de Pascal, que estabelece uma relação entre as somas S , S , …, S e que será obtida a 1 2 k

seguir (veja p. 266 da referência bibliográfica 2 deste capítulo).

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para o desenvolvimento do

binômio de Newton. Chamamos de binômio de Newton a expressão (A + B k ) . Observamos que, no tempo de Pascal, tal expressão não era, ainda, conhecida como binômio de Newton; aliás, na época em que Pascal estava pensando nesse assunto, Newton deveria estar com mais ou menos 12 anos de idade. Temos

 

e, de modo geral,

 

em que é o coeficiente binominal de ordem (k, p) e é dado por

 

Observamos que nada mais é do que o número de combinações de k

elementos tomados p a p. No final da seção, utilizando o princípio de indução finita, que foi praticamente estabelecido por Pascal (veja p. 265 da referência bibliográfica 2 deste capítulo), provaremos a fórmula para o desenvolvimento do binômio de Newton.

Para obter a identidade de Pascal, vamos trocar k por k + 1, fazer B = 1,

substituir A sucessivamente por 1, 2, 3, …, n e, em seguida, somar membro a membro as igualdades obtidas.

 

Somando membro a membro as igualdades acima e observando que (1 + 1) k + 1 k + 1 k + 1 na primeira linha e 2 , (2 + 1) (ambos na segunda linha) e 3 k + 1 k + 1 k + 1 na terceira linha, …, (( n − 1) + 1) na penúltima linha e n na última linha podem ser cancelados, resulta

 

que é a identidade obtida por Pascal.

Da identidade anterior segue que, para k = 1,

 

e, portanto (lembrando que ,

Para k = 2,

 

 

E assim por diante.

Logo, S é um polinômio de grau 2 na variável n. Observe que S 1 1

nada mais é do que a soma da progressão aritmética 1, 2, 3, …, n. Como S 1 é do grau 2, pela identidade acima, S será do grau 3 na variável n. Fica a 2 seu cargo verificar que S é um polinômio de grau 4 na variável n e, de 3

modo geral, S é um polinômio de grau k + 1 na variável n. Esta k

observação sobre o grau de S será fundamental no cálculo do limite de k

para n tendendo a infinito, e é esta observação que, para mim, torna

lindo o método de Pascal. Espero que você concorde comigo! Vamos, então, ao cálculo do limite mencionado acima.

Primeiro, vamos dividir os dois membros da identidade de Pascal por

n k + 1 . Temos

 

De

segue que

 

 

Como os graus de S , S , …, S e S são, respectivamente, k, k − k − 1 k − 2 2 1 1, …, 3 e 2, e o grau de k + 1 n é k + 1, segue que o limite, para n tendendo para infinito, de

 

é zero. (Você concorda?) Como , resulta

 

Conclusão:

 

Observamos que S (n) é uma aproximação por excesso da área da região

limitada pela curva k y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b. Por outro lado, (veja a figura abaixo) é uma aproximação por falta da área em questão. Procedendo-se de forma análoga, prova-se que

 

Fica assim estabelecida, pelo método de Pascal, a fórmula para o

cálculo da área acima mencionada.

A seguir, utilizando o princípio de indução finita, vamos provar a

fórmula para o desenvolvimento do binômio de Newton. Antes porém vamos estabelecer tal princípio. No que se segue, P (k) indicará uma proposição (que pode ser falsa ou verdadeira) associada ao natural k. Por exemplo,

são proposições associadas ao natural k. Qual o menor número possível de condições que devemos impor a P (k) para que P (k) seja verdadeira para todo natural k ≥ a (a natural)? Evidentemente, a primeira condição a impor é que P (k) seja verdadeira para k = a. Suponhamos, além disso, que para todo k ≥ a

P (k) ⇒ P (k + 1).

Sendo então P (a) verdadeira e como

P (a) ⇒ P (a + 1),

resulta que P (a + 1) será também verdadeira.

P (a + 1) ⇒ P (a + 2)

logo, P (a + 2) também será verdadeira. Prosseguindo com este raciocínio, é razoável que se conclua que P (k) seja verdadeira para todo k ≥ a. Quem nos garante que isto realmente acontece é o princípio de indução finita, cujo enunciado é o seguinte:

 

Princípio de indução nita (PIF). Sejam a um número natural dado e P (k) uma proposição associada a cada natural k, k ≥ a. Suponhamos que

(i) P (k) seja verdadeira para k = a; (ii) para todo natural k ≥ a

P (k) ⇒ P (k + 1).

Nestas condições, P (k) será verdadeira para todo natural k ≥ a.

 

Para a prova da fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton,

vamos precisar, ainda, da seguinte propriedade dos coeficientes binomiais

e cuja verificação deixamos a seu cargo. Vamos então à prova de que para todo natural k, k ≥ 2, P (k) é verdadeira em que P (k) é a proposição

 

 

Para k = 2 a fórmula é verdadeira, pois,

 

Provemos então que P (k) ⇒ P (k + 1). Para isto, basta multiplicar os dois membros de P (k) por A + B. Multiplicando o segundo por A e, em seguida, por B e utilizando a propriedade dos coeficientes binomiais acima (e

lembrando que ) resulta:

 

cuja soma é exatamente o desenvolvimento do binômio de Newton (A + B k + 1 ) . Portanto, para todo k ≥ 2, P(k) ⇒ P(k + 1). Fica, assim, provada a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton para todo natural k, k ≥ 2.