Um Curso de Cálculo, Volume 1
3.4 Limites Laterais
15. Suponha f contínua em ℝ e f(x) ≥ 0 para todo x racional. Prove que f(x) ≥ 0
para todo x.
3.4 Limites Laterais
Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existe b tal que ] p, b [ ⊂ D . Definimos: f
O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à direita de f, em p.
Suponhamos, agora, que exista um real a tal que ]a, p[ ⊂ D . Definimos f
O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à esquerda de f, em
p.
É uma consequência imediata das definições de limite e de limites laterais
que se e se, para algum r > 0, f(x) = g(x) em ]p, p + r[, então
Se ocorrer f(x) = g(x) em ]p – r, p[, então
Exemplo 1
Calcule
Solução
Exemplo 2
Calcule
Solução
Teorema. Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b tais que ]a, p[ e
]p, b[ estejam contidos em D . Então, f
Demonstração
Deixamos para o leitor.
Observações.
1. Se existirem e forem diferentes, então
não existirá.
2. Se existirem a e b tais que ]a, p[ e ]p, b[ estejam contidos em D e se, em f
p, um dos limites laterais não existir, então não existirá.
3. Se existirem reais r > 0 e b tais que ]p, b [ ⊂ D e ]p – r, p[ ∩ D = ϕ, f f
então desde que o limite lateral à direita exista. Se
ocorrer ]b, p[ ⊂ D e ]p, p + r[ ∩ D = ϕ, então f f desde que o limite lateral à esquerda exista.
Exemplo 3
existe? Por quê?
Solução
Exercícios 3.4
1. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
2. A afirmação
é falsa ou verdadeira? Justifique.
3. Dada a função verifique que
Pergunta-se: f é contínua em 1? Por quê?
4. Dê exemplo de uma função definida em ℝ, que não seja contínua em 2,
mas que
5. Suponha que exista r > 0 tal que f(x) ≥ 0 para p < x < p + r. Prove que
desde que o limite exista.
6. Sejam f uma função definida em um intervalo aberto I e p ∊ I. Suponha
que f(x) ≤ f(p) para todo x ∊ I. Prove que desde que o
limite exista.
(Sugestão: Estude os sinais de e de
)