Um Curso de Cálculo, Volume 1
4.5 O Número e
Nosso objetivo, nesta seção, é provar que a sequência de termo geral
é convergente. Definiremos, então, o número e como o limite de tal sequência.
Para provar a convergência de tal sequência, é suficiente provar que ela é
crescente e que existe M > 0 tal que a < M para todo n ≥ 1 (veja Apêndice A). n
Primeiro, vamos provar que para todo n ≥ 1. Temos
Como 2 n ≤ (n + 1)! para todo n ≥ 1 (verifique), resulta que
para todo n ≥ 1, daí
e como
resulta
Vamos provar, agora, que tal sequência é crescente. Sejam n e m naturais ≥
1 tais que n < m. Temos
De n < m resulta
se n < m. Assim, a sequência é crescente.
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