4.3 Sequência e Limite de Sequência

5. Dê exemplo de funções f e g tais que

não existe.

 

6. Dê exemplo de funções f e g tais que

 

7. Dê exemplo de funções f e g tais que

 

8. 3 2 Seja f ( x ) = ax + bx + cx + d, em que a > 0, b, c, d são reais dados.

Prove que existem números reais x e x tais que f(x ) < 0 e f(x ) > 0. 1 2 1 2

 

9. Sejam f e g duas funções definidas em ]a, +∞[ tais que e

g(x) > 0 para todo x > a. Prove que existe r > 0 tal que para todo x > r, f(x) > g(x).

 

4.3 Sequência e Limite de Sequência

Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função n ↦ a , a valores n reais, cujo domínio é um subconjunto de ℕ. As sequências que vão interessar ao curso são aquelas cujo domínio contém um subconjunto do tipo {n ∊ ℕ | n ≥ q} no qual q é um natural fixo; só consideraremos tais sequências.

A notação a (leia: a índice n) é usada para indicar o valor que a sequência n

assume no natural n. Diremos que a é o termo geral da sequência. n

Exemplo 1

Seja a sequência de termo geral n a = 2 . Temos

n

a 0 1 2 = 2 , a = 2 , a = 2 , …

0 1 2

 

Exemplo 2

Seja a sequência de termo geral s = 1 + 2 + 3 + … + n. Temos n

s = 1, s = 1 + 2, s = 1 + 2 + 3 etc. 1 2 3

Sejam m ≤ n dois naturais. O símbolo

 

(leia: somatória de a , para k variando de m até n) é usado para indicar a k

soma dos termos a , a , a , …, a : m m + 1 m + 2 n

 

Exemplo 3

Exemplo 4

Seja a sequência de termo geral Temos

 

Exemplo 5

Considere a sequência de termo geral t ≠ 0 e t ≠ 1 Verifique

que

 

Solução

Multiplicando ambos os membros por t, vem

 

Subtraindo membro a membro ① e ②, obtemos

s n + 1 (1 – t ) = 1 – t

n

logo,

 

Observe que s é a soma dos termos da progressão geométrica 1, t, n

t 2 3 n , t , …, t .

 

Definição. Consideremos uma sequência de termo geral a n e seja a um número real. De nimos

 

Se diremos que a sequência de termo geral a converge para a n

ou, simplesmente, que a converge para a e escrevemos a → a. Se n n

diremos que a diverge para +∞ e escrevemos a → +∞. Se n n

diremos que a diverge para –∞. n

Observamos que as definições acima são exatamente as mesmas que demos

quando tratamos com limite de uma função f(x), para x → +∞; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limites da forma aplica-se aqui.

Exemplo 6

Calcule

Solução

 

Exemplo 7

Suponha que existe um natural n tal que a ≥ b para todo n ≥ n . 1 n n 1

Prove que se então

Solução

Como dado ε > 0 existe um natural n tal que 2

n > n ⇒ b > ε. 2 n

Tomando-se n = máx{n , n } resulta 0 1 2

n > n ⇒ a ≥ b > ε 0 n n

logo

 

Exemplo 8

Suponha a > 1. Mostre que

 

Solução

a = 1 + h, h > 0. Pela fórmula do binômio de Newton

 

daí

 

ou seja,

a n ≥ 1 + nh para n ≥ 1.

Como h > 0, logo

 

Exemplo 9

Supondo 0 < b < 1, calcule

Solução

Inicialmente, observamos que se então

(verifique).

De 0 < b < 1, segue que então

 

pois, (Exemplo 8).

 

Exemplo 10

Calcule

Solução

 

Exemplo 11

Calcule

 

Solução

Como resulta

 

 

A igualdade

 

é usualmente escrita na forma

 

Exercícios 4.3

 

1. Calcule.

2. Supondo 0 < a < 1, mostre que

 

3. Calcule

(Sugestão: para k ≥ 0.

 

4. Seja f(x) = x, x P [0, 1]. Considere a sequência de termo geral

 

a) Calcule S . Observe que, geometricamente, S pode ser interpretado 3 3

como a soma das áreas dos retângulos hachurados.

b) Calcule (Pensando geometricamente, qual o valor esperado para

o limite?)

 

5. Calcule

 

(Sugestão: Verifique que

Veja Seção 17.2.)

 

6. 2 Seja f ( x ) = x , x ∊ [0, 1]. Considere as sequências

Calcule

 

(Interprete geometricamente tais limites.) (Sugestão: Utilize o Exercício 5.)

 

7. Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com aceleração constante a, a >

0. Suponha que no instante t = 0 a velocidade seja zero. A velocidade no instante t é, então, dada por v(t) = at. Divida o intervalo de tempo [0, T] em n intervalos de amplitudes iguais a

 

8. Suponha que a sequência de termo geral a , n natural, seja crescente (isto n

é, quaisquer que sejam os naturais n e m, n < m ⇒ a ≤ a ) e que exista n m