A.4 Limite de Função Crescente (ou Decrescente)

Tendo em vista a propriedade (ii), para todo r > 0,

|α − β| < r.

Logo, α = β (por quê?).

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A.4 Limite de Função Crescente (ou Decrescente)

Sejam f uma função e A um subconjunto do domínio de f. Dizemos que f é limitada superiormente em A se existir um número real M tal que, para todo x ∈ A, f(x) ≤ M.

Por outro lado, dizemos que f é limitada inferiormente em A se existir

um número real m tal que, para todo x ∈ A, f(x) ≥ m.

Teorema. Seja f uma função de nida e crescente em ]a, b[.

a) Se f for limitada superiormente em ]a, b[, então

com L = sup {f(x) | x ∈ ]a, b[}

b) Se f não for limitada superiormente em ]a, b[, então

Demonstração a) O conjunto {f(x) | x ∈ ]a, b[} é não vazio e limitado superiormente;

logo, admite um supremo L. Dado, então ε > 0, existe um x ∈ ]a, b[, 1 tal que, L − ε < f(x ) ≤ L. Daí, para todo x em ]x , b[, tem-se 1 1

L − ε < f(x ) ≤ f(x) ≤ L < L + ε 1

ou seja,

L − ε < f(x) < L + ε.

Logo,

b) Como f não é limitada superiormente, para todo M > 0 dado, existe x 1

∈ ]a, b[, tal que f(x ) > M. Pelo fato de f ser crescente, tem-se, para 1

todo x ∈ ]x , b[, 1

f(x) > M

ou seja,

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Fica para o leitor enunciar e provar teorema análogo para o caso de f ser

decrescente em ]a, b[.

Conforme as palavras seguintes de Richard Dedekind (1813-1916) em

seu livro Essays on the theory of numbers, a razão que o levou à definição de número real (veja Apêndice F) foi exatamente o teorema anterior.

“Minha atenção voltou-se primeiramente para as considerações que

constituem o assunto deste folheto no outono de 1858. Como professor na Escola Politécnica em Zurique, vi-me pela primeira vez obrigado a dar aulas sobre os elementos do cálculo diferencial e senti mais agudamente do que nunca a falta de um fundamento realmente científico para a aritmética. Ao discutir a noção de limite e especialmente ao provar o teorema segundo o qual toda magnitude que cresce continuamente, mas não além de todos os limites, deve certamente se aproximar de um valor finito, tive que recorrer a evidências geométricas. Mesmo agora, esse recurso à intuição geométrica numa primeira apresentação do cálculo diferencial, eu o vejo como extremamente útil, do ponto de vista didático, e até mesmo indispensável se não se quer perder muito tempo. Mas ninguém pode negar que essa forma de introdução ao cálculo diferencial não pode se pretender científica. Para mim, esse sentimento de insatisfação foi tão esmagador que mantive a firme intenção de continuar refletindo sobre a questão até encontrar um fundamento puramente aritmético e perfeitamente rigoroso para os princípios da análise infinitesimal.” (Dover Publications, Inc., Nova York.)

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