Um Curso de Cálculo, Volume 1
14.4 Soluções Não Constantes
Exercícios 14.3
Determine, caso existam, as soluções constantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
14.4 Soluções Não Constantes
O teorema que enunciamos a seguir e cuja demonstração é deixada para o Apêndice D nos será útil na determinação das soluções não constantes.
Teorema. Seja a equação
em que g e h são de nidas em intervalos abertos I e I , respectivamente, com g contínua em 1 2
I e h′ contínua em I . Nestas condições, se x = x (t), t ∈ I, for solução não constante de ①, 1 2
então, para todo t em I, h (x (t)) ≠ 0.
Vejamos, então, como determinar as soluções não constantes de ① ,
supondo que g e h satisfaçam as condições do teorema anterior.
Suponhamos que x = x (t), t ∈ I, seja uma solução não constante de ① ;
assim, para todo t em I,
x′(t) = g (t) h (x (t))
ou
Seja J = J é um intervalo, pois x = x (t) é contínua. Observe que para
todo x em J, h (x) ≠ 0. A função sendo contínua em J admite uma
primitiva H (x), neste intervalo: H′(x) = , x ∈ J. Segue que, para todo t
em I,
Resulta de ② e ③ que, para todo t em I,
Sendo G (t) uma primitiva de g em I, segue de ① que existe uma
constante k tal que, para todo t em I,