15.3 Teorema de Cauchy

= x . 0

a 2 ) Determine os pontos fixos de f ( x ) = x − 3x.

b 2 ) f ( x ) = x + 1 admite ponto fixo?

c) Mostre que f terá ponto fixo se o gráfico de f interceptar a reta y = x.

6. Seja f : ℝ → ℝ e suponha que f′(x) ≠ 1 para todo x. Prove que f admitirá no

máximo um ponto fixo.

7. Suponha que g (t) seja uma primitiva de f(t) em [0, 1], isto é, para todo t

em [0, 1], g′(t) = f(t). Suponha, ainda, que f(t) < 1 em ]0, 1[. Prove que

g (t) − g (0) < t em ]0, 1].

8. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = φ (t).

Sabe-se que φ (0) = 0 e φ (1) = 1, isto é, nos instantes 0 e 1 a partícula encontra-se, respectivamente, nas posições x = 0 e x = 1. Prove que em algum instante c, 0 < c < 1, ν (c) ≥ 1. (Sugestão: Observe que φ′(t) = ν (t) em [0, 1] e utilize o exercício anterior.)

15.3 Teorema de Cauchy

Para motivar geometricamente o teorema de Cauchy, vamos, inicialmente, definir reta tangente a uma 2 curva em ℝ .

Por uma 2 curva em ℝ entendemos uma função que a cada t pertencente a

um intervalo 2 I associa um ponto ( g ( t ), f ( t )) em ℝ , em que f e g são funções reais definidas em I. Dizemos que,

são as equações paramétricas da curva.

Exemplo 1

Seja a curva de equações paramétricas 2 x = t , y = t , t em ℝ. Quando t

varia em 2 2 ℝ , o ponto ( t , t ) descreve a parábola y = x .

Exemplo 2

Seja a curva de equações paramétricas x = cos t, y = sen t com t ∈ [0,

2π]. Quando t varia em [0, 2π], o ponto (cos t, sen t) descreve a

circunferência 2 2 x + y = 1.

Suponhamos, agora, f e g deriváveis em I, t ∈ I e g′(t ) ≠ 0. Vamos 0 0

definir reta tangente à curva no ponto (g (t ), f(t )). 0 0

O coeficiente angular da reta secante s é t

Nada mais natural do que definir o coeficiente angular da reta tangente à

curva no ponto (g (t ), f(t )) igual a 0 0

Temos:

Definimos, então, a reta tangente à curva em (g (t ), f(t )) como a reta 0 0

que passa por esse ponto e que tem coeficiente angular . A equação da

reta tangente à curva em (g (t ), f(t )) é então 0 0

Suponhamos, agora, f e g contínuas em [a, b], deriváveis em ]a, b[ e g′(t) ≠

0 em ]a, b[. Observe que as condições apresentadas anteriormente implicam g (a) ≠ g (b).

O coeficiente angular da reta S é .

Vemos, geometricamente, que existe um ponto (g (c), f(c)) tal que a

tangente neste ponto é paralela à reta S. O coeficiente angular de T é .

Então, para este c,

Teorema (de Cauchy). Se f e g forem contínuas em [a, b] e deriváveis em ]a, b[, então existirá

pelo menos um c em ]a, b[ tal que

[ f(b) − f(a)] g′(c) = [ g (b) − g (a)] f′(c)

ou

Demonstração

Seja h (x) = [ f(b) − f(a)] g (x) − [ g (b) − g (a)] f(x), x ∈ [a, b].

Pelo teorema de Rolle, existe c em ]a, b[ tal que h′(c) = 0, daí

[ f(b) − f(a)] g′(c) − [ g (b) − g (a)] f′(c) = 0,

ou seja,

[ f(b) − f(a)] g′(c) = [ g (b) − g (a)] f′(c).

Observação. Fazendo, no teorema acima, g (x) = x, obtemos o TVM.

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