Um Curso de Cálculo, Volume 1
9 Estudo da Variação das Funções
9.1 Teorema do Valor Médio (TVM)
O objetivo desta seção é apresentar o enunciado de um dos teoremas mais importantes do cálculo: o teorema do valor médio (TVM). A demonstração é deixada para o Cap. 15.
Teorema do valor médio (TVM). Se f for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, então existirá
pelo menos um c em ]a, b[ tal que
Geometricamente, este teorema conta-nos que se s é uma reta passando
pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), então existirá pelo menos um ponto (c, f(c)), com a < c < b, tal que a reta tangente ao gráfico de f, neste ponto, é paralela à reta s. Como é o coeficiente angular de s e f′(c) o de T,
Vejamos, agora, uma interpretação cinemática para o TVM. Suponhamos
que x = f(t) seja a função de posição do movimento de uma partícula sobre o eixo 0x. Assim, será a velocidade média entre os instantes t = a e t
= b. Pois bem, o TVM conta-nos que se f for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, então tal velocidade média será igual à velocidade (instantânea) da partícula em algum instante c entre a e b.
As situações que apresentamos a seguir mostram-nos que as hipóteses “f
contínua em [a, b] e f derivável em ]a, b[” são indispensáveis.