D.6 Critério de Integrabilidade de Lebesgue

O próximo exemplo nos mostra uma função integrável cujo conjunto

dos pontos de descontinuidade é infinito.

Exemplo

Seja f: [0, 1] → ℝ dada por

 

Como f é crescente, resulta que f é integrável em [0, 1]. Observe

que f é descontínua em todos os pontos do conjunto infinito

 

D.6 Critério de Integrabilidade de Lebesgue

Henri Lebesgue (1875-1941) estabeleceu um critério de integrabilidade que nos permite reconhecer se uma função f é ou não integrável em [a, b], olhando apenas para o conjunto dos pontos de [a, b] em que f é descontínua. Para estabelecer tal critério, precisamos primeiro definir conjunto de medida nula.

Seja A um subconjunto de ℝ e seja I , I , …, I , … uma sequência de 1 2 n

intervalos; dizemos que tal sequência cobre A se

isto é, se A estiver contido na reunião de tais intervalos.

 

Exemplo 1

Seja a sequência dada por

1, 2, …, cobre A, pois

 

A ⊂ I ∪ I ∪ I ∪ … 1 2 3

Observe:

 

No que segue, m (I) indicará a amplitude do intervalo I; assim, se

I = [0, 2], então m (I) = 2 − 0 = 2;

Seja A ⊂ ℝ; dizemos que A tem medida nula se, para todo ε > 0

dado, existir uma sequência de intervalos I , I , I , …, I , … que 1 2 3 n

cobre A e tal que

 

Observação.

Antes de passarmos aos exemplos, lembramos que, se 0 < q < 1, então

 

Se tomarmos teremos

 

Exemplo 2

Mostre que tem medida nula.

 

Solução

Dado ε > 0, tomemos q tal que

Consideremos a sequência de intervalos

 

Tal sequência cobre n A e, como m ( I ) = q , resulta

n

 

portanto, A tem medida nula.

Seja A ⊂ ℝ; dizemos que A é enumerável se existir uma

sequência a , a , …, a , … tal que 1 2 n

Exemplo 3

 

ℕ é enumerável, pois

 

em que a = n − 1. n

 

Exemplo 4

O conjunto A dos racionais estritamente positivos é enumerável.

Solução

em que

 

Exemplo 5

O intervalo [0, 1] não é enumerável.

Solução

Suponhamos, por absurdo, que fosse enumerável; existiria, então,

uma sequência a , a , … tal que 1 2

 

Seja, agora, c ∈ ]0, 1[, com c ≠ a ; a não pode pertencer a 1 1 1 1

 

Seja [α , β ] o intervalo em ① que não contém a . 1 1 1

Seja, agora, c ∈ ]α , β [, com c ≠ a ; a não pode 2 1 1 2 2 2

pertencer a

 

Seja [α , β ] o intervalo em ② que não contém a . 2 2 2 Prosseguindo com este raciocínio, construiremos uma sequência

de intervalos

[α , β ] ⊃ [α , β ] ⊃ … ⊃ [α , β ] ⊃ … 1 1 2 2 n n

tal que, para todo natural n ≥ 1,

a ∉ [α , β ]. n n n

Por outro lado, existe pelo menos um real p ∈ [0, 1] tal que

p ∈ [α , β ] n n

para todo n ≥ 1. Segue que

p ≠ a n

para todo n ≥ 1, que é uma contradição.

 

Exemplo 6

Todo conjunto A enumerável tem medida nula.

Solução

Dado ε > 0, consideremos a sequência

 

como Tal sequência cobre A e

 

Exemplo 7

Prove que A = {1, 2, 3} tem medida nula.

Solução

A = , em que a = 1, a = 2, a = 3 e a = 3 para n ≥ 3; 1 2 3 n

logo, A é enumerável e, portanto, tem medida nula.

 

Exemplo 8

Seja A ⊂ ℝ; se A for finito, então A terá medida nula.

Solução

Suponhamos que A tem p elementos; batizando os elementos de A por

x , x , …, x , resulta A = {x , x , …, x } = em que 1 2 p 1 2 p

a = x , a = x , …, a = x e a = x para n > p. Assim, A é 1 1 2 2 p p n p

enumerável; logo, tem medida nula.

 

Vamos agora enunciar, sem demonstração (para a demonstração, veja

Elon Lages Lima, Curso de Análise — Volume 1), o seguinte

 

Critério de Lebesgue

Seja f limitada em [a, b] e seja A o conjunto dos pontos de [a, b] em que f é descontínua: A

= {x ∈ [a, b]| f é descontínua em x}. Então,

f integrável em [a, b] ⇔ A tem medida nula.

 

Exercícios 1. Prove que se A estiver contido em B e se B tiver medida nula, então A

terá, também, medida nula.

 

2. Prove que o conjunto vazio tem medida nula.

 

3. Prove que se A e B tiverem medida nula, então A ∪ B também terá

medida nula.

 

4.

Já foi visto que a função não é integrável em [0,

1]. Utilizando o critério de Lebesgue, conclua que [0, 1] não tem medida nula.

 

5. Utilizando o critério de Lebesgue, prove que se f for integrável em [a,

b], então f será contínua em pelo menos um ponto p ∈ [a, b].

 

6. Suponha f integrável em [a, b] e f(x) > 0 em [a, b]. Prove que

> 0.

 

7. Utilizando o critério de Lebesgue, prove que se f for integrável em [a,

b 2 ], então | f | e f também serão.

Seja A o conjunto dos números irracionais pertencentes ao intervalo [0,

8.

1]. Prove que A não tem medida nula.

 

9. Dê exemplo de um conjunto não enumerável que tenha medida nula.

(Pesquise!)

 

10. Utilizando o critério de Lebesgue, decida se a função dada é ou não

integrável.

 

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