7.16 Problemas Envolvendo Reta Tangente e Reta Normal ao Gráfico de uma Função

Relacione a velocidade de Q com a velocidade de P.

 

7.16 Problemas Envolvendo Reta Tangente e Reta

Normal ao Gráfico de uma Função

Seja f uma função derivável em p. Já vimos que, por definição, f′(p) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p e que

 

é a equação da reta tangente em (p, f(p)).

A reta que passa por (p, f(p)), e que é perpendicular à reta tangente anterior,

denomina-se reta normal ao gráfico de f em (p, f(p)). Se f′(p) ≠ 0, a equação da reta normal no ponto de abscissa p será

 

Lembrete. Você aprendeu na geometria analítica que, se y = mx + n e y = m x 1 + n são retas perpendiculares, então os seus coeficientes angulares satisfazem 1

a relação

Assim, como f′(p) é o coeficiente angular da reta tangente em (p, f(p)), a

 

reta normal, neste ponto, terá coeficiente angular desde que f′(p) ≠ 0.

Se f′(p) = 0, a equação da reta normal em (p, f(p)) será x = p.

 

Exemplo 1

Seja 2 f ( x ) = x − x. Determine as equações das retas tangente e normal no

ponto de abscissa 0.

Solução

Reta tangente no ponto de abscissa 0:

y − f(0) = f′(0)(x − 0)

 

Substituindo na equação acima vem

y − 0 = −1(x − 0) ou y = −x.

Assim, y = −x é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abscissa 0.

Reta normal no ponto de abscissa 0:

 

Como f(0) = 0 e f′(0) = −1, resulta

y = x

que é a equação da reta normal no ponto de abscissa 0.

 

Exemplo 2

Seja f(x) = 2x + 1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f

no ponto de abscissa 3.

Solução

A equação da reta tangente em (3, f(3)) é:

y − f(3) = f′(3)(x − 3)

Assim, y − 7 = 2(x − 3) ou y = 2x + 1, é a equação da reta tangente

em (3, f(3)). Observe que a reta tangente ao gráfico de f em (3, f(3))

coincide com o gráfico de f!!

 

Observação. A nossa de nição de reta tangente não exige que a reta tangente “toque” a curva em um único ponto.

 

Exemplo 3

r 3 é uma reta que passa por (1, −1) e é tangente ao gráfico de f ( x ) = x −

x. Determine r.

Solução

Supondo que r seja tangente ao gráfico de f em (p, f(p)), a equação de r

será

y − f(p) = f′(p)(x − p)

 

e, portanto, 3 2 y − p + p = (3 p − 1)(x − p). O problema, agora, consiste

em achar p. Como r passa por (1, −1) (observe: x = 1 ⇒ y = −1)

−1 − 3 2 p + p = (3 p − 1)(1 − p)

ou

2 3 2 p − 3 p = 0

e, assim, p = 0 ou p = . Portanto, a equação de r será

ou seja,

 

Pelo ponto (1, −1) passam duas retas que são tangentes ao gráfico de

f.

 

Exemplo 4

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 2 f ( x ) = x + 3x e

paralela à reta y = 2x + 3.

Solução

Supondo que a reta procurada seja tangente ao gráfico de f no ponto de

abscissa p, sua equação será

y − f(p) = f′(p)(x − p).

Pela condição de paralelismo, devemos ter

f′(p) = 2 ou 2p + 3 = 2

e, portanto, p = . A equação da reta pedida será então

 

ou

 

ou seja,

 

Exercícios 7.16

 

1. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função

dada, no ponto dado.

2. 2 Seja f ( x ) = x . Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f

e paralela à reta y = x + 3.

 

3. 3 Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de f ( x ) = x + 3x e paralela à

reta y = 6x − 1. Determine r.

 

4. Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2y + x = 3 e

tangente ao gráfico de 2 f ( x ) = x − 3x.

 

5. Sabe-se que r é uma reta perpendicular à reta 3x + y = 3 e tangente ao

gráfico de 3 f ( x ) = x . Determine r.

 

6. 2 A reta s passa pelo ponto (3, 0) e é normal ao gráfico de f ( x ) = x no

ponto (a, b).

a) Determine (a, b).

b) Determine a equação de s.

 

7. Sabe-se que r é uma reta que passa pela origem e que é tangente ao gráfico

de 3 2 f ( x ) = x + 2 x − 3x. Determine r.

 

8. 4 3 2 Determine todos os pontos ( a , b ) sobre a curva y = x + 2 x − 2 x + 8x

+ 12 tais que a reta tangente em (a, b) seja paralela à reta 8x − y + π = 0. 9. Determine todos os pontos (a, b) sobre o gráfico da função dada por y =

4 3 2 x + x − 4x − 1 tais que a reta tangente em (a, b) seja paralela ao eixo x.

 

10. Sabe-se que r é uma reta que passa pelo ponto (0, 2) e que é tangente ao

gráfico de 3 f ( x ) = x . Determine r.

 

11. Determine a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto

e que seja normal ao gráfico de 3 y = x .

 

12. 2 Determine todos os pontos ( a , b ) de R tais que por (a, b) passem duas

retas tangentes ao gráfico de 2 f ( x ) = x .

13. 2 Sejam A e B os pontos em que o gráfico de f ( x ) = x − αx, α real,

intercepta o eixo x. Determine α para que as retas tangentes ao gráfico de f, em A e em B, sejam perpendiculares.

 

14. 3 Determine β para que y = βx − 2 seja tangente ao gráfico de f ( x ) = x − 4x.

 

15. 2 Sabe-se que r é uma reta tangente aos gráficos de f ( x ) = − x e de g(x) =

+ 2 x . Determine r.

 

Exercícios do Capítulo

 

1. Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

i) x y = x em p = 1 (Sugestão: Veja Exemplo 3-6.3.)

 

2. Calcule a derivada

3. Expresse em termos de x e de y, em que y = y(x) é uma função

derivável, dada implicitamente pela equação dada.

a) 3 y + sen xy = 1

b) y e + xy = x

c) x 2 y + x = y

d) x cos y + y cos x = 2

 

4. Seja y = f(x) definida e derivável num intervalo contendo 1 e suponha que f

seja dada implicitamente pela equação 3 2 y + x y = 130. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f, no ponto de abscissa 1.

 

5. Determine uma reta que seja paralela a x + y = 1 e que seja tangente à

curva 2 2 x + xy + y = 3.

 

6. 2 2 Determine uma reta que seja tangente à elipse x + 2 y = 9 e que

intercepta o eixo y no ponto de ordenada .

 

7.

Mostre que a reta é tangente à curva no

ponto (x , y ). 0 0

Determine uma reta paralela a 3 3 x + y = 1 e tangente à curva y + xy + x =

8. 0 em um ponto (x , y ), com x < 0 e y < 0. 0 0 0 0

 

9. Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0,2

m/s e 0,1 m/s, respectivamente. A que taxa estará variando a área do retângulo no instante em que x = 1 m e y = 2 m?

 

10. A altura h e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a

taxas constantes de 0,1 m/s e 0,3 m/s, respectivamente. A que taxa estará variando o volume do cone no instante em que h = 0,5 m e r = 0,2 m?

 

11. O volume V e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a

taxas constantes de 0,1 π m 3 /s e 0,2 m/s, respectivamente. Expresse

em termos de r e h, em que h é a altura do cone.

 

12. Num determinado instante, as arestas de um paralelepípedo medem a, b, c

(m) e, neste instante, estão variando com velocidades v , v e v (m/s), a b c respectivamente. Mostre que neste instante o volume do paralelepípedo estará variando a uma taxa de 3 v bc + av c + abv (m /s).

a b c

 

13. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a

manter constante o volume V. Num determinado instante h = 3 cm e r = 1 cm e, neste instante, a altura está variando a uma taxa de 0,2 cm/s. A que taxa estará variando o raio neste instante?

14. Uma piscina tem 10 m de largura, 20 m de comprimento, 1 m de

profundidade nas extremidades e 3 m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados. Despeja-se água na piscina a uma taxa de 0,3 m 3 /min. Seja h a altura da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade h estará variando no instante em que h = 1 m?

 

15. Num determinado instante e está variando, neste instante, a uma

taxa de 0,01 radiano por segundo (veja figura). A que taxa estará variando o ângulo α neste instante?

 

16. Com relação ao exercício anterior, supondo em

termos de θ e

 

17. 2 2 Considere as funções dadas por y = ax e y = − x + 1. Determine a para

que os gráficos se interceptem ortogonalmente. (Os gráficos se

interceptam ortogonalmente em (x , y ) se as retas tangentes aos 0 0 gráficos, neste ponto, forem perpendiculares.)

 

18. 2 2 2 2 Determine a para que as circunferências x + y = 1 e ( x − a ) + y = 1

se interceptem ortogonalmente.

 

19. 2 2 2 Mostre que, para todo a , as curvas y = ax e x + 2 y = 1 se interceptam

ortogonalmente.

 

20. 2 2 Suponha f : R → R derivável e considere a função dada por y = x f ( x +

1).

 

21. 2 Seja ϕ a função dada por ϕ ( x ) = x + 1. Calcule.

a) ϕ′(ϕ(x))

b) (ϕ(ϕ(x)))′

 

22. Calcule ϕ′(ϕ(x)) sendo ϕ dada por

a) ϕ(x) = sen x

c) 2 ϕ ( x ) = ln( x + 1)

 

 

23. Para cada ϕ do exercício anterior, calcule (ϕ(ϕ(x)))′.

 

24. Dê exemplos de funções ϕ que satisfazem a condição ϕ′(ϕ(x)) = (ϕ(ϕ(x)))′,

para todo x no domínio de ϕ.

 

25. Considere uma partícula que se desloca sobre o eixo x com função de

posição x = cos 3t.

a) Verifique que a aceleração é proporcional à posição.

b) Calcule a aceleração no instante em que a partícula se encontra na

posição x = .

 

26. Considere uma partícula que se desloca sobre o eixo x com função de

posição

a) Verifique que a aceleração é proporcional ao cubo da posição.

b) Qual a aceleração no instante em que a partícula se encontra na

posição 27. a Seja f : R → R derivável até a 2 ordem e seja h dada por h(t) = f(cos 3t).

a) Expresse h′′(t) em termos de t, f′(cos 3t) e de f′′(cos 3t).

 

28. Suponha que y = y(t) seja uma função derivável tal que para todo t no seu

domínio

 

29. Seja y = y(x) definida e derivável num intervalo I e tal que, para todo x em

I, = x + sen y.

30. a Seja f : R → R derivável até a 2 ordem e tal que, para todo x,

f′′(x) + 4 f(x) = 0.

Mostre que, para todo x,

 

31. a Sejam f : R → R derivável até a 2 ordem e h dada por h(x) = f(f(x)).

Verifique que, para todo 2 x , h ′′( x ) = f ′′( f ( x ))( f ′( x )) + f′(f(x)) f′′(x).

 

32. Considere o polinômio

P 2 3 ( x ) = A + A ( x − x ) + A ( x − x ) + A ( x − x )

0 1 0 2 0 3 0

 

em que A , A , A , A e x são números reais fixos. Mostre que 0 1 2 3 0

 

33. 2 3 Considere o polinômio P ( x ) = a + a x + a x + a x em que a , a , 0 1 2 3 0 1

a e a são reais fixos. Seja x um real dado. 2 3 0

a) Mostre que existem constantes A , A , A e A tais que 0 1 2 3

P 2 3 ( x ) = A + A ( x − x ) + A ( x − x ) + A ( x − x ) .

0 1 0 2 0 3 0

(Sugestão: Faça x = (x − x ) + x .) 0 0

b) Conclua que

(Dizemos que a é o desenvolvimento de Taylor do polinômio P(x) em potências de x − x .) 0

 

 

34. 3 Determine o desenvolvimento de Taylor de P ( x ) = x + 2x + 3, em

potências de (x − 1).

 

35. Generalize o resultado do Exercício 33.

 

36. 4 2 Determine o desenvolvimento de Taylor de P ( x ) = x − 3 x + x + 1 em

potências de

a) x − 2

b) x + 1

 

37. Sejam P(x) e Q(x) polinômios tais que P(x ) = 0, Q (x ) = 0 e Q′(x ) ≠ 0. 0 0 0

Mostre que

 

(Sugestão: Desenvolva P(x) e Q(x) em potências de x − x e simplifique.) 0

38. Sejam P(x) e Q(x) polinômios tais que P(x ) = P′(x ) = 0, Q(x ) = Q′ 0 0 0

(x ) = 0 e Q′′(x ) ≠ 0. Mostre que Generalize. 0 0

 

39. Utilizando os Exercícios 37 e 38, calcule.

 

40. Sejam f e g deriváveis em p e tais que f(p) = g(p) = 0. Supondo g′(p) ≠ 0,

mostre que

 

41. Utilizando o Exercício 40, calcule.

42. Seja f definida em R e derivável em p. Suponha f′(p) > 0. Prove que existe

 

r > 0 tal que

f(x) > f(p) em ]p, p + r[

 

e

f(x) < f(p) em ]p − r, p[.

(Sugestão: Lembre-se da definição de derivada e utilize a conservação do sinal.)

 

43. Seja f definida e derivável em R e sejam a e b raízes consecutivas de f.

Mostre que

f′(a) · f′(b) ≤ 0.

 

44. Suponha f derivável no intervalo I. Prove que se f for estritamente

crescente em I, então f′(x) ≥ 0 em I.

 

45. Suponha f derivável em [a, b] e tal que f′(a) · f′(b) < 0. Prove que existe p

em ]a, b[tal que f(x) ≤ f(p) para todo x em [a, b] ou f(x) ≥ f(p) para todo x em [a, b]. Interprete geometricamente.

 

46. Suponha f derivável em [a, b] tal que f′(a) · f′(b) > 0 e f(a) = f(b). Prove

que existem x , x ∈ ]a, b[tais que, para todo x em [a, b], f(x ) ≤ f(x) ≤ 1 2 1 f(x ). Interprete geometricamente. 2

 

47. Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t

 

Calcule f′(x).

48. Sejam f e g definidas em R, com g contínua em 0, e tais que, para todo x,

f(x) = xg(x). Mostre que f é derivável em 0.

 

49. Suponha f definida em R, derivável em 0 e f(0) = 0. Prove que existe g

definida em R, contínua em 0, tal que f(x) = xg(x) para todo x.

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17.1 Quadratura da Parábola: Método de Arquimedes

Um dos criadores do Cálculo Diferencial e Integral foi o grande matemático grego Arquimedes, que viveu no século 3 a.C. em Siracusa. Uma de suas inúmeras descobertas foi a fórmula para o cálculo da área de um segmento de parábola. Nosso objetivo aqui é obter tal fórmula seguindo o raciocínio rigoroso de Arquimedes. Vamos então considerar o segmento de parábola limitado pela parábola 2 y = x e pela corda AB.

Lembrando que em um trapézio o segmento que liga os pontos médios

dos lados não paralelos é a semissoma das bases, resulta que a ordenada de M é .

Pela figura,

 

Ou seja,

 

(OK?)

A altura do triângulo AMN em relação à base MN é m. Também, a altura do triângulo BMN em relação à base MN é m. Como

MN 2 = m

e

altura em relação à base MN = m

segue-se que a soma das áreas dos triângulos AMN e BMN é:

 

Portanto, a área do triângulo 3 ANB é m . Vamos destacar este resultado

 

Vamos então ao cálculo da área do segmento parabólico. A seguir,

suporemos A coincidindo com a origem do sistema de coordenadas.

 

Na figura, o valor de 3 m é b /2. Assim, a área T do triângulo ANB é ( b /2) =

b 3 /8.

A área do triângulo ANB é uma primeira aproximação para a área do

segmento parabólico ANB. Vamos melhorar esta aproximação. Vamos somar a esta área as áreas dos triângulos AN N e NN B (veja a figura a 1 2 seguir).

 

Observe que a soma das áreas dos triângulos AN N e NN B é 1 2

exatamente um quarto da área T do triângulo ANB.

 

Assim,

 

é uma segunda aproximação, e melhor, para o nosso segmento parabólico.

Dividindo, agora, o intervalo [0, b] em 8 partes iguais e somando-se as

áreas dos novos triângulos obtidos, verifica-se que a soma dessas novas áreas é 3 b /128, que é exatamente um quarto da área anteriormente acrescentada, que era de 3 b /32.

 

Assim,

 

é uma terceira aproximação, e melhor, para o nosso segmento parabólico.

 

Continuando o raciocínio acima, é razoável esperar que a fórmula para

o cálculo de tal área seja:

Então, para chegar à fórmula para a área do segmento parabólico, é só

calcular a soma da progressão geométrica infinita de primeiro termo 1 e razão que sabemos ser . (De acordo?) Só que Arquimedes não

trabalhava com limites infinitos. Para chegar à fórmula

 

Arquimedes primeiramente utilizou o seu MÉTODO de descoberta: verificou “por meio de uma balança” que o peso do segmento de parábola era exatamente quatro terços do triângulo ANB (veja referência

bibliográfica 1 no final do capítulo). Em seguida, admitiu que o valor da área era T e, por uma dupla redução ao absurdo, provou a sua veracidade.

É o que faremos a seguir. Temos

 

Continuando o raciocínio acima, obtém-se

 

Somando 3 aos dois membros, em seguida dividindo por 3 e por último multiplicando os dois membros por T, resulta

O objetivo é então provar que a área do segmento parabólico ANB é T. A

prova será feita em duas etapas: na primeira, prova-se que a área do segmento parabólico não pode ser menor que T, e na segunda, que a área

do segmento parabólico não pode ser maior que T. Indicando por S a área

do segmento parabólico, será provado então que S = T.

Para a prova da primeira etapa, Arquimedes utilizou o seguinte

postulado: “A diferença pela qual a maior de duas áreas excede a menor pode, sendo somada a si mesma repetidas vezes, exceder qualquer área finita dada”, cujo enunciado moderno é: “Dados os números reais x e y, com x > 0, existe um natural m tal que mx > y”, que nada mais é do que a nossa conhecida propriedade de Arquimedes.

Para a prova da segunda etapa, Arquimedes utilizou as duas seguintes

propriedades:

I. “Dadas duas grandezas distintas, se da maior subtrai-se mais que sua metade, do restante mais

que sua metade, e assim por diante, acabará restando uma grandeza menor que a menor das grandezas dadas.”

II. 2 “ A reta tangente à parábola y = x no ponto de abscissa a + m é paralela à corda de

extremidades 2 2 ( a , a ) e ( a + 2m , ( a + 2m ) ).” (Veri que.)

Observe que a área do triângulo XYZ é maior que a metade do segmento parabólico XYZ. (Você concorda?)

Prova da Primeira Etapa.

Suponhamos por absurdo que . Assim, . Pela

propriedade de Arquimedes, existe um natural n tal que

 

e, portanto,

 

Daí,

 

Ou seja,

que é contradição, pois para todo n

 

Prova da Segunda Etapa.

suponhamos, agora, . Das propriedades I e II acima, existe um

natural n tal que

 

e, portanto,

 

Segue que

 

que é uma contradição.

Se a área do segmento parabólico não pode ser maior e tampouco menor

que , resulta que tal área é exatamente . Em consequência, a área da

região limitada pela parábola 2 y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b é .

 

17.2 Pascal e o Cálculo de Áreas Pela fórmula de Arquimedes para a área de um segmento de parábola, segue, como vimos na seção anterior, que a área da região limitada pela curva 2 y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b é . Passados quase

dois mil anos dessa descoberta de Arquimedes, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) interessou-se pelo cálculo da área da região limitada pela curva k y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b, com k ≥ 3 e natural. Utilizando o seu método dos indivisíveis, Cavalieri provou, para k de 3 até 9, a fórmula para a área de tal região e afirmou que a fórmula era

válida para todo k. Nesta seção, utilizando as ideias de Blaise Pascal (1623-1662), vamos mostrar como chegar rapidamente e de forma maravilhosa a esta fórmula, e na próxima seção veremos como Fermat brincou com esse problema.

Para se chegar à fórmula, divide-se o intervalo [0, b] em n partes iguais

e considera-se a soma S (n) das áreas dos retângulos de base e altura

, para i = 1, 2, …, n (veja a figura abaixo).

E, portanto,

 

Indicando por k k k k S a soma 1 + 2 + 3 + … + n , resulta

k

 

Para resolver o problema, basta determinar o limite de para n

tendendo a +∞. E isto se faz utilizando a identidade de Pascal, que estabelece uma relação entre as somas S , S , …, S e que será obtida a 1 2 k

seguir (veja p. 266 da referência bibliográfica 2 deste capítulo).

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para o desenvolvimento do

binômio de Newton. Chamamos de binômio de Newton a expressão (A + B k ) . Observamos que, no tempo de Pascal, tal expressão não era, ainda, conhecida como binômio de Newton; aliás, na época em que Pascal estava pensando nesse assunto, Newton deveria estar com mais ou menos 12 anos de idade. Temos

 

e, de modo geral,

 

em que é o coeficiente binominal de ordem (k, p) e é dado por

 

Observamos que nada mais é do que o número de combinações de k

elementos tomados p a p. No final da seção, utilizando o princípio de indução finita, que foi praticamente estabelecido por Pascal (veja p. 265 da referência bibliográfica 2 deste capítulo), provaremos a fórmula para o desenvolvimento do binômio de Newton.

Para obter a identidade de Pascal, vamos trocar k por k + 1, fazer B = 1,

substituir A sucessivamente por 1, 2, 3, …, n e, em seguida, somar membro a membro as igualdades obtidas.

 

Somando membro a membro as igualdades acima e observando que (1 + 1) k + 1 k + 1 k + 1 na primeira linha e 2 , (2 + 1) (ambos na segunda linha) e 3 k + 1 k + 1 k + 1 na terceira linha, …, (( n − 1) + 1) na penúltima linha e n na última linha podem ser cancelados, resulta

 

que é a identidade obtida por Pascal.

Da identidade anterior segue que, para k = 1,

 

e, portanto (lembrando que ,

Para k = 2,

 

 

E assim por diante.

Logo, S é um polinômio de grau 2 na variável n. Observe que S 1 1

nada mais é do que a soma da progressão aritmética 1, 2, 3, …, n. Como S 1 é do grau 2, pela identidade acima, S será do grau 3 na variável n. Fica a 2 seu cargo verificar que S é um polinômio de grau 4 na variável n e, de 3

modo geral, S é um polinômio de grau k + 1 na variável n. Esta k

observação sobre o grau de S será fundamental no cálculo do limite de k

para n tendendo a infinito, e é esta observação que, para mim, torna

lindo o método de Pascal. Espero que você concorde comigo! Vamos, então, ao cálculo do limite mencionado acima.

Primeiro, vamos dividir os dois membros da identidade de Pascal por

n k + 1 . Temos

 

De

segue que

 

 

Como os graus de S , S , …, S e S são, respectivamente, k, k − k − 1 k − 2 2 1 1, …, 3 e 2, e o grau de k + 1 n é k + 1, segue que o limite, para n tendendo para infinito, de

 

é zero. (Você concorda?) Como , resulta

 

Conclusão:

 

Observamos que S (n) é uma aproximação por excesso da área da região

limitada pela curva k y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b. Por outro lado, (veja a figura abaixo) é uma aproximação por falta da área em questão. Procedendo-se de forma análoga, prova-se que

 

Fica assim estabelecida, pelo método de Pascal, a fórmula para o

cálculo da área acima mencionada.

A seguir, utilizando o princípio de indução finita, vamos provar a

fórmula para o desenvolvimento do binômio de Newton. Antes porém vamos estabelecer tal princípio. No que se segue, P (k) indicará uma proposição (que pode ser falsa ou verdadeira) associada ao natural k. Por exemplo,

são proposições associadas ao natural k. Qual o menor número possível de condições que devemos impor a P (k) para que P (k) seja verdadeira para todo natural k ≥ a (a natural)? Evidentemente, a primeira condição a impor é que P (k) seja verdadeira para k = a. Suponhamos, além disso, que para todo k ≥ a

P (k) ⇒ P (k + 1).

Sendo então P (a) verdadeira e como

P (a) ⇒ P (a + 1),

resulta que P (a + 1) será também verdadeira.

P (a + 1) ⇒ P (a + 2)

logo, P (a + 2) também será verdadeira. Prosseguindo com este raciocínio, é razoável que se conclua que P (k) seja verdadeira para todo k ≥ a. Quem nos garante que isto realmente acontece é o princípio de indução finita, cujo enunciado é o seguinte:

 

Princípio de indução nita (PIF). Sejam a um número natural dado e P (k) uma proposição associada a cada natural k, k ≥ a. Suponhamos que

(i) P (k) seja verdadeira para k = a; (ii) para todo natural k ≥ a

P (k) ⇒ P (k + 1).

Nestas condições, P (k) será verdadeira para todo natural k ≥ a.

 

Para a prova da fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton,

vamos precisar, ainda, da seguinte propriedade dos coeficientes binomiais

e cuja verificação deixamos a seu cargo. Vamos então à prova de que para todo natural k, k ≥ 2, P (k) é verdadeira em que P (k) é a proposição

 

 

Para k = 2 a fórmula é verdadeira, pois,

 

Provemos então que P (k) ⇒ P (k + 1). Para isto, basta multiplicar os dois membros de P (k) por A + B. Multiplicando o segundo por A e, em seguida, por B e utilizando a propriedade dos coeficientes binomiais acima (e

lembrando que ) resulta:

 

cuja soma é exatamente o desenvolvimento do binômio de Newton (A + B k + 1 ) . Portanto, para todo k ≥ 2, P(k) ⇒ P(k + 1). Fica, assim, provada a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton para todo natural k, k ≥ 2.

 

17.3 Fermat e o Cálculo de Áreas

Vejamos como Pierre de Fermat (1601-1665) obteve a fórmula para o

cálculo da área limitada pela curva k y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b, k natural. Fermat procedeu da seguinte forma: considerou um número E, como 0 < E < 1, e dividiu o intervalo ]0, b] em infinitos subintervalos da forma

…, [ i i − 1 3 2 2 bE , bE ], …, [ bE , bE ], [ bE , bE], [bE, b].

Observe que 2 3 i − 1 i b , bE , bE , bE , …, bE , bE , … é uma progressão geométrica de razão i E e que E tende a zero para i tendendo a infinito, pois 0 < E < 1.

A área do retângulo i i − 1 i − 1 k R dado por bE ≤ x ≤ bE , 0 ≤ y ≤ ( bE ) é

i

área i − 1 k k (i − 1) k + 1 k + 1 i − 1 R = bE (1 − E ) b E = b (1 − E ) ( E ) , i = 1,

i

2, 3, …

Segue que as áreas dos retângulos R formam uma progressão geométrica i de primeiro termo k + 1 k + 1 b (1 − E ) e razão E . Antes de prosseguir, vamos relembrar as fórmulas para as somas dos termos da progressão geométrica finita e infinita de razão q e primeiro termo 1:

 

(verifique por indução finita) e para 0 < q < 1

 

Fazendo k + 1 q = E , a soma das áreas dos retângulos R é

i

 

De

 

resulta

 

Observamos que a soma das áreas dos retângulos é uma aproximação por excesso da área da região em questão e que quanto mais próximo de 1 estiver E melhor será a aproximação. Para E tendendo a 1 (em verdade, Fermat simplesmente substituiu E por 1 na soma acima), a soma acima tenderá a . Nada mudaria se em vez de considerarmos aproximação

por excesso considerássemos aproximação por falta.

Você gostou? Se gostou mesmo, verifique que o método de Fermat

continua válido mesmo quando k é um número racional! Mas se você gostou muito mesmo, utilizando a progressão geométrica 1, 2 3 E , E , E , …, com E > 1, e supondo k natural, k ≥ 2, mostre que a área da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo x e pela reta x = 1 é dada pela

fórmula .

Bem, por volta de 1670, Sir Isaac Newton (1642-1727) já estava

calculando a área sob a curva m /n y = ax , para x de 0 a x, utilizando a primitiva da função. O Teorema Fundamental do

Cálculo estava nascendo, e o Cálculo Diferencial e Integral, nas mãos de Newton, se consolidando. (Veja referência bibliográfica 2, abaixo, p. 290.)

 

Referências Bibliográficas

 

1. Ávila, Geraldo, Arquimedes, o Rigor e o Método (1986), Matemática

Universitária da Sociedade Brasileira de Matemática, Número 4, 27-45.

 

2. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach. História da Matemática, Tradução de

Helena Castro. São Paulo: Blucher, 2012.

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