Um Curso de Cálculo, Volume 1
9.4 Regras de L’Hospital
a) Mostre que, para todo x em I, f′′(x)existe e que f′′ é contínua em I
b) Mostre que existe r > 0 tal que f′(x) > 0 e f′′(x) > 0 em ]1 − r, 1 + r[
c) Esboce o gráfico de y = f(x), x ∈ ]1 − r, 1 + r[
11. Seja f definida e derivável no intervalo ]−r, r[(r > 0). Suponha que
a) Mostre que 0 é ponto de inflexão horizontal
b) Mostre que f′(x) > 0 para x ≠ 0
c) Estude f com relação à concavidade
d) Mostre que f(x) > para 0 < x < r
e) Faça um esboço do gráfico de f
9.4 Regras de L’Hospital
As regras de L’Hospital, que vamos enunciar a seguir e cujas demonstrações são deixadas para o final da seção, aplicam-se a cálculos de limites que apresentam indeterminações dos tipos
1 a REGRA DE L’HOSPITAL. Sejam f e g deriváveis em ]p − r, p[ e em ]p, p + r[(r > 0), com g′(x) ≠ 0 para 0 <|x – p | < r. Nestas condições, se
Observamos que a 1 a regra de L’Hospital continua válida se substituirmos
“ + – x → p ” por “ x → p ” ou por “ x → p ” ou por “x → ±∞”.
2 a REGRA DE L’HOSPITAL. Sejam f e g deriváveis em ]m, p[, com g′(x) ≠ 0 em ]m, p[. Nestas condições, se
Observamos que a 2 a – regra continua válida se substituirmos “ x → p ” por
“ + x → p ” ou por “x → p” ou por “x → ±∞”. A regra permanece válida se substituirmos um dos símbolos +∞, ou ambos, por −∞.
Exemplo 1
Calcule
Solução
Assim,
c) que é uma indeterminação que poderá ser
colocada na forma ou É mais interessante aqui passá-la para a
forma que nos permitirá eliminar o ln x.
Ou seja,
Como vimos, as regras de L’Hospital aplicam-se às indeterminações da
forma Os próximos exemplos mostram como as outras formas de
indeterminação (0 · ∞, ∞ − ∞, 0 0 0 ∞ , ∞ e 1 ) podem ser reduzidas a estas. (Observamos que 0 0 0 ∞ 0 , ∞ e 1 são indeterminações do tipo 0 · ∞. Veja: 0 = e 0 ln 0 0 · (−∞) 0 0 ln ∞ 0 · ∞ ∞ ∞ ln 1 ∞ · 0 = e ; ∞ = e = e e 1 = e = e .)
Exemplo 2
Calcule
Solução
Fazendo somos levados a uma indeterminação da forma
Então
e o último limite é igual a
Bonito! Em vez de simplificar, complicou!! Vamos, então, mudar a nossa
estratégia. Façamos a mudança de variável está pedindo
a mudança de variável Temos, então
Pela 2 a regra de L’Hospital,
desde que o último limite exista. Ainda, pela 2 a regra de L’Hospital,
Verifique e generalize.)
e
Segue que
ou seja,
(Observação. Se
proceda como acima no cálculo de
Portanto,
Exemplo 3
Calcule
Solução
e
L’Hospital resulta
Para facilitar as coisas, observamos:
Exemplo 4
Calcule
Solução
O último limite é igual a
Logo,
(Observação. Outro modo para calcular este limite é:
Exemplo 5
Calcule
Solução
O último limite é igual a
Assim
(Este limite poderia, também, ter sido calculado da seguinte forma:
fazendo a mudança de
Exemplo 6
Calcule
Solução
que não é indeterminação. Veja
e
Assim
Vimos anteriormente (Exemplo 8 da Seção 7.2) que se f for derivável em p
então
ou seja, o erro E(x) = f(x)− T(x), em que T(x) = f(p) + f′(p) (x − p), tende a zero mais rapidamente do que x − p, quando x tende a p, o que significa
com Assim, T (x)é um valor aproximado para f(x)e o erro que se comete nesta aproximação tende a zero mais rapidamente do que x − p, quando x tende a p. A seguir, estamos interessados em determinar a de modo que
P 2 ( x ) = f ( p ) + f ′( p )( x − p ) + a ( x − p )
2
seja um valor aproximado para f(x)com erro tendendo a zero mais rapidamente que ( 2 x − p ) , quando x tende a p.
Exemplo 7
Suponha f derivável no intervalo ]p − r, p + r[, r > 0, e que a derivada de
2 a ordem de f exista em p. Mostre que se
então
Solução
Vamos, então, calcular o limite
Pela 1 a regra de L’Hospital, tal limite é igual a
Observação. Seja
Do que vimos acima resulta
com Ou seja, o polinômio P (x)é um valor aproximado de f(x)com erro E(x) = φ 2
( 2 2 x )( x − p ) tendendo a zero mais rapidamente do que ( x − p ) , quando x tende a p. O polinômio
P (x)é denominado polinômio de Taylor de ordem 2 de f em x = p. 2
Exemplo 8
Suponha a f derivável até a 2 ordem no intervalo ]p − r, p + r[, r > 0, e
que a derivada de 3 a ordem de f exista em p. Mostre que se
então,
Solução
Pela 1 a regra de L’Hospital, o limite acima é igual a
Da hipótese, segue
O polinômio
denomina-se polinômio de Taylor de ordem 3 de f em x = p. Segue, do que vimos acima, que P (x) é um valor aproximado de f(x) com erro E (x) = f(x) − 3
P 3 ( x ) tendendo a zero mais rapidamente do que ( x − p ) , para x tendendo a
3
p. Generalize. O polinômio de Taylor de uma função é uma das ferramentas poderosas do cálculo numérico. No Cap. 15, voltaremos ao polinômio de Taylor.
Para encerrar a seção, vamos provar as regras de L’Hospital. Para provar
tais regras, vamos substituir a hipótese a g ′( x ) ≠ 0 em ] p , p + r [, na 1 regra, e g′ ( a x ) ≠ 0 em ] m , p [, na 2 regra, por g′(x) > 0 nestes intervalos. (Este fato não restringe em nada as nossas regras, pois o teorema de Darboux (veja Exercício 8 da Seção 9.7) nos diz exatamente o seguinte: g′(x) ≠ 0 no intervalo aberto I ⇒ g′(x) mantém o mesmo sinal neste intervalo.)
Demonstração da 1 a regra de L’Hospital
Suponhamos
Segue que, dado ε > 0 existe δ > 0, δ < r, tal que, para p < x < p + δ, tem-se
Do Exemplo 8 da Seção 9.2, segue que, para p < x < p + δ, tem-se, também,
Fica para o aluno provar, como exercício, a 1 a regra nos casos:
De modo análogo, demonstra-se que
Demonstração da 2 a regra de L’Hospital
Suponhamos
Pela definição de limite, dado ε > 0 existe δ > 0, com p − δ > m, tal que, 1 1 para p − δ < x < p, 1
Do Exemplo 9 da Seção 9.2, segue que existem constantes M, N e s, com s ∈ ] p − δ , p[, tal que, para s < x < p, 1
Por outro lado, de
existe δ > 0, com p − δ > s, tal que
para p − δ < x < p. Daí e de ① resulta, para p − δ < x < p,
Fica para o aluno provar, como exercício, a 2 a regra no caso
De modo análogo, demonstra-se que
Exercícios 9.4
1. Calcule
2. a Sejam f e g deriváveis até a 2 ordem em ] p, b[, com g′′(x) ≠ 0 em ] p, b[.
Suponha que
Prove que, se existir (finito ou infinito), então existirá
e Generalize tal resultado.
3. Calcule