Um Curso de Cálculo, Volume 1
7.12 Derivada de f(x)g(x)
30. Seja g: ℝ → ℝ uma função diferenciável tal que g(2) = 2 e g′(2) = 2.
Calcule H′(2), sendo H dada por H(x) = g(g(g(x))).
7.12 g(x) Derivada de f ( x )
Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto A, com f(x) > 0 para todo x ∈ A. Consideremos a função definida em A e dada por
y g(x) = f ( x ) .
Aplicando ln aos dois membros obtemos
ln y = g(x) ln f(x)
e, assim,
y g (x) ln f(x) = e ,
ou seja,
f g(x) g (x) ln f(x) ( x ) = e .
Então,
e, portanto,
Exemplo 1
Calcule a derivada.
a) x y = x .
b) x y = 3 .
Solução
a) x x ln x x = e .
( x x ln x x x )′ = e ( x ln x )′ = x (ln x + 1),
ou seja,
( x x x )′ = x (1 + ln x).
b) x x ln 3 3 = e .
(3 x x ln 3 )′ = e (x ln 3)′.
Como ln 3 é constante, (x ln 3)′ = x′ ln 3 = ln 3. Assim,
(3 x x )′ = 3 ln 3.
Exemplo 2
Seja a > 0, a ≠ 1, constante. Mostre que, para todo x,
( x x a )′ = a ln a.
Solução
a x x ln a = e
( x x ln a a )′ = e (x ln a)′.
Como (x ln a)′ = x′ ln a = ln a, resulta
a x x = a ln a.
Exemplo 3
Seja α uma constante real qualquer. Mostre que, para todo x > 0,
( α α−1 x )′ = α x .
Solução
x α α ln x = e
( α α ln x x )′ = e (α ln x)′.
Sendo α constante (α ln x)′ = α(ln x)′ = . Assim,
( α α α−1 x )′ = x · = α x .
Exemplo 4
Calcule a derivada.
b) x y = 8 + log x. 2
Solução
b) Pela fórmula de mudança de base,
Então,
Exercícios 7.12
1. Calcule a derivada.
a x ) f ( x ) = 5 + log x
3
b x 2 2x ) y = 2 + 3
c 2x + 1 2 ) g ( x ) = 3 + log ( x + 1)
2
d x ) y = (2 x + 1)
e sen 3x ) f ( x ) = x
f x ) g ( x ) = (3 + cos x )
g x ) y = x sen x
h x 2 +1 ) y = x
i –t ) y = (1 + i ) , i constante
j x –x ) y = 10 − 10
l cos 3x ) y = (2 + sen x )
m x ) y = ln (1 + x )
o x x ) y = x
p π x ) y = x + π
q e –x ) y = (1 + x )
2. Sejam f e g deriváveis em A, com f(x) > 0 em A. Verifique que, para todo x
em A,
Observe g(x) : é a derivada de f ( x ) , supondo f constante; é a derivada de g(x) f ( x ) , supondo g constante.