Um Curso de Cálculo, Volume 1
17.3 Fermat e o Cálculo de Áreas
Vejamos como Pierre de Fermat (1601-1665) obteve a fórmula para o
cálculo da área limitada pela curva k y = x , 0 ≤ x ≤ b, pelo eixo x e pela reta x = b, k natural. Fermat procedeu da seguinte forma: considerou um número E, como 0 < E < 1, e dividiu o intervalo ]0, b] em infinitos subintervalos da forma
…, [ i i − 1 3 2 2 bE , bE ], …, [ bE , bE ], [ bE , bE], [bE, b].
Observe que 2 3 i − 1 i b , bE , bE , bE , …, bE , bE , … é uma progressão geométrica de razão i E e que E tende a zero para i tendendo a infinito, pois 0 < E < 1.
A área do retângulo i i − 1 i − 1 k R dado por bE ≤ x ≤ bE , 0 ≤ y ≤ ( bE ) é
i
área i − 1 k k (i − 1) k + 1 k + 1 i − 1 R = bE (1 − E ) b E = b (1 − E ) ( E ) , i = 1,
i
2, 3, …
Segue que as áreas dos retângulos R formam uma progressão geométrica i de primeiro termo k + 1 k + 1 b (1 − E ) e razão E . Antes de prosseguir, vamos relembrar as fórmulas para as somas dos termos da progressão geométrica finita e infinita de razão q e primeiro termo 1:
(verifique por indução finita) e para 0 < q < 1
Fazendo k + 1 q = E , a soma das áreas dos retângulos R é
i
De
resulta
Observamos que a soma das áreas dos retângulos é uma aproximação por excesso da área da região em questão e que quanto mais próximo de 1 estiver E melhor será a aproximação. Para E tendendo a 1 (em verdade, Fermat simplesmente substituiu E por 1 na soma acima), a soma acima tenderá a . Nada mudaria se em vez de considerarmos aproximação
por excesso considerássemos aproximação por falta.
Você gostou? Se gostou mesmo, verifique que o método de Fermat
continua válido mesmo quando k é um número racional! Mas se você gostou muito mesmo, utilizando a progressão geométrica 1, 2 3 E , E , E , …, com E > 1, e supondo k natural, k ≥ 2, mostre que a área da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo x e pela reta x = 1 é dada pela
fórmula .
Bem, por volta de 1670, Sir Isaac Newton (1642-1727) já estava
calculando a área sob a curva m /n y = ax , para x de 0 a x, utilizando a primitiva da função. O Teorema Fundamental do
Cálculo estava nascendo, e o Cálculo Diferencial e Integral, nas mãos de Newton, se consolidando. (Veja referência bibliográfica 2, abaixo, p. 290.)
Referências Bibliográficas
1. Ávila, Geraldo, Arquimedes, o Rigor e o Método (1986), Matemática
Universitária da Sociedade Brasileira de Matemática, Número 4, 27-45.
2. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach. História da Matemática, Tradução de
Helena Castro. São Paulo: Blucher, 2012.
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