Um Curso de Cálculo, Volume 1
Apêndice D Funções Integráveis Segundo Riemann
D.1 Uma Condição Necessária para Integrabilidade
Vamos provar que uma condição necessária, mas não suficiente, para f ser integrável, segundo Riemann, em [a, b] é que f seja limitada em [a, b]. Lembramos que dizer que f é limitada em [a, b] significa que existe M > 0 tal que, para todo x em [a, b], |f(x) | ≤ M.
Teorema. Se f for integrável, segundo Riemann, em [a, b], então f será limitada em [a, b].
Demonstração
Como f é integrável em [a, b], tomando-se ε = 1 existe uma partição P de [a, b] tal que
qualquer que seja a escolha de c em [x , x ], i = 1, 2, …, n. Sejam x i i − 1 i j − 1 e x dois pontos consecutivos da partição P; vamos provar que f é j
limitada em [x , x ]. Seguirá daí que f será limitada em [a, b] (por j − 1 j
quê?). Temos
ou
Segue que (lembre-se: |X + Y| ≥ |X| − |Y|)
ou
Fixemos c , i ≠ j, em [x , x ]; como ① se verifica para todo c em i i − 1 i j
[x , x ], resulta que f é limitada em [x , x ], j = 1, 2, …, n; logo f é j − 1 j j – 1 j limitada em [a, b].
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Exemplo 1
(de função limitada e não integrável.) A função
não é integrável em [0, 1].
Solução
Para toda partição P de [0, 1]
logo não existe (por quê?) e, portanto, f não é
integrável em [0, 1].
Exemplo 2
A função
não é integrável, segundo Riemann, em [0, 1], pois f não é limitada
neste intervalo.