Vogel: Análise Química Quantitativa
4.24 Análise de variância para dois fatores
Este tipo de diagrama é chamado de planejamento de experiências em blocos aleatórios e as análises feitas em cada dia são chamadas de blocos. Este planejamento permite separar três fontes de variação:
1. Entre blocos (dias diferentes)
2. Entre tratamentos (amostras A, B e C) 3. Aleatórias (devidas a erros indeterminados)
Neste caso, usa-se a análise de variância para dois fatores (ANOVA para dois fatores) e a variância entre blocos e entre tratamentos são comparadas com a variância estimada dos erros aleatórios.
4.24 Análise de variância para dois fatores
Exemplo 4.15
Um analista preparou quatro soluções padrões contendo 5,00% (por peso) de cobre(II) cada uma e usou três métodos de titulação com pontos finais diferentes para a análise de cada solução. Os resultados obtidos, por peso de cobre(II), são dados a seguir. A seqüência de experimentos foi gerada de forma aleatória.
Solução Método A Método B Método C
1 5,08 5,17 5,09
2 5,02 5,15 5,15
3 5,06 5,22 5,10
4 5,00 5,13 5,05
Verifique se existem diferenças significativas no nível de confiança de 5% entre (i) as concentrações de cobre(II) das diferentes soluções e (ii) os resultados obtidos pelos diferentes métodos de titulação.
São duas as variáveis envolvidas, as quatro soluções padrões de cobre e os três métodos de titulação diferentes. Assim, deve-se usar uma análise de variância para dois fatores para resolver o problema. Observe que as etapas usadas na solução deste problema são semelhantes às do Exemplo 4.14.
Para simplificar o problema, vamos subtrair uma constante de cada valor, por exemplo,
5,00, e determinar em seguida a soma de cada coluna e de cada linha.
Solução A B C Soma das linhas
1 0,08 0,17 0,09 0,34
2 0,02 0,15 0,15 0,32
3 0,06 0,22 0,10 0,38
4 0,00 0,13 0,05 0,18
Soma das colunas 0,16 0,67 0,39 1,22 = T
(a) Obtenha o valor total, T, por adição das somas de todas as colunas ou de todas as
linhas. Neste exemplo, T = 1,22.
(b) O fator de correção é
(c) A soma total dos quadrados é, como no Exemplo 4.14,
0,1702 – 0,1240 = 0,0461
(d) Para obter a soma dos quadrados entre os tratamentos (métodos de titulação), divida
a soma dos quadrados de cada coluna pelo número de resultados em cada coluna e subtraia o fator de correção:
Some dos quadrados entre = (0,162 2 2 + 0,67 + 0,39)
tratamentos – 0,1250
= 0,0327
(e) Para obter a soma dos quadrados entre as soluções, divida a soma dos quadrados de
cada linha pelo número de resultados em cada linha e subtraia o fator de correção:
Soma dos quadrados entre = (0,342 2 2 + 03,32 + 0,18)
as soluções – 0,1240
= 0,0075
(f) Para obter a soma dos quadrados dos resíduos (aleatória), subtraia da soma total dos
quadrados a soma dos quadrados entre os tratamentos e a soma dos quadrados entre as soluções:
Soma das variãncias experimentais = 0,0461 – (0,0327 + 0,0075)
= 0,0059
(g) Obtenha o número de graus de liberdade, v, segundo
Número tolal de graus de liberdade = N – 1 = 11
Número de graus de liberdade enlre tratamentos = C – 1 = 2
Número de graus de liberdade entre soluções = R – 1 = 3
O número residual de graus de liberdade, v, é
(N – 1) – [C – 1 + R – 1] = 11 – (2 + 3) = 6
onde
N = número total de experimentos (12) C = número de colunas (3)
R = número de linhas (4)
Uma tabela de ANOVA para dois fatores pode ser agora organizada.
Fonte de variação Soma dos quadrados v Variância
Entre tratamentos 0,0327 2 0,0164
Entre soluções 0,0075 3 0,0025 1. Determine quais são os resultados desejados e as variáveis (fatores) que podem afetar