Vogel: Análise Química Quantitativa
4.26 Planejamento fatorial
a resposta dos experimentos que estão sendo avaliados.
2. Selecione um planejamento adequado para resolver o problema. 3. Execute o trabalho experimental.
4. Examine os resultados obtidos, separando as variáveis importantes das pouco
significativas, e decida se outras técnicas podem dar informações relevantes.
Pode ser necessário repetir estas etapas com outras abordagens de planejamento. A etapa 2 é a seleção do planejamento de experiências. Os planejamentos podem ser divididos em duas grandes classes:
Planejamentos simultâneos, em que todos os experimentos são feitos antes da análise
dos resultados.
Planejamentos seqüenciais, em que os resultados dos experimentos anteriores
determinam as condições a serem usadas no experimento seguinte.
4.26 Planejamento fatorial
O planejamento simultâneo mais comum é o planejamento fatorial. Em um planejamento fatorial determina-se um grupo de níveis para cada fator (variável) a ser estudado e faz-se uma série de experimentos, uma vez ou mais de uma, para cada uma das combinações possíveis dos fatores.
Observe que esta abordagem é completamente diferente da otimização univariada em
que um fator varia de cada vez enquanto os outros permanecem constantes. Com freqüência, a otimização univariada é demorada e menos eficiente do que o planejamento fatorial e, o que é mais importante, ela não leva em consideração que as variáveis podem interagir. Antes de examinarmos em detalhe um exemplo de planejamento fatorial, temos de definir alguns dos termos usados:
Um fator é uma variável que afeta o resultado experimental. Existem dois tipos de
fatores. Os fatores quantitativos, que podem variar continuamente, por exemplo, pH, temperatura e concentração de um reagente. Os fatores qualitativos podem ser reconhecidos pela presença ou ausência, por exemplo, se um catalisador está sendo usado ou não. Em um planejamento fatorial, cada fator tem dois ou mais níveis. Para um fator quantitativo como o pH, estes níveis poderiam ser 2, 3, 4 ou 5, por exemplo. Para um fator qualitativo como o uso de atmosfera inerte, estes níveis podem ser a ausência (nível mais baixo) ou a presença (nível mais alto).
A combinação dos níveis destes fatores em um experimento é chamada de
combinação do tratamento. Em um planejamento fatorial de experiências com três fatores em dois níveis existem 23 combinações. O número de combinações quando existem dois fatores e três níveis é 3 2. Em outras palavras, a base corresponde ao número de níveis, e a potência, ao número de fatores.
A resposta é o resultado observado para cada combinação, isto é, o ponto final de uma
titulação ou a resposta de um instrumento, por exemplo, a absorbância, a emissão de fluorescência ou a razão sinal/ruído. Ocorre uma interação quando os efeitos de dois ou mais fatores não são aditivos. As Seções 4.27 e 4.28 dão mais detalhes.
Exemplo 4.16
Um aluno de pós-graduação fez um experimento de absorção atômica com uma solução de cálcio (10 μg·l·–1). Ele mediu a resposta em 422,7 nm em dois níveis diferentes para cada um dos seguintes fatores: (A) altura da chama, (B) corrente da lâmpada e (C) razão do combustível (acetileno/ar). Os níveis que ele escolheu para cada fator foram
Nível Nível mais baixo (–) mais alto (+)
A altura da chama (mm) 15 25
B corrente da lâmpada (mA) 2 3
C razão de combustível 4/9 5/9
(C 2H2/ar)
Como são três fatores em dois níveis, existem 2 3 = 8 combinações. A ordem das combinações foi escolhida alteatoriamente. Cada combinação foi utilizada duas vezes e cada uma foi lida duas vezes.
Nosso aluno de pós-graduação obteve os resultados da Tabela 4.1. Para simplificar os
cálculos, ele arredondou as respostas (as absorbâncias) para dois algarismos
significativos e multiplicou o resultado por 100. A Tabela 4.1 mostra a média dos valores para cada par de medidas duplicadas. É importante fazer, sempre que possível, cada combinação em duplicata para permitir uma estimativa dos efeitos de interação.
Cada combinação foi codificada da seguinte forma. Uma letra minúscula significa que
o fator A está em seu nível alto; sua ausência indica que o fator A está em seu nível mais baixo. A letra (l) significa que todos os fatores estão em seus níveis mais baixos. Assim, c significa que o fator C (a razão de combustível) está em seu nível mais alto, mas os fatores A e B (altura da chama e corrente da lâmpada) estão em seus níveis mais baixos. Da mesma maneira, ab significa que os fatores A e B estão em seus níveis mais altos e o fator C está em seu nível mais baixo. Por último, abc significa que todos os três fatores estão em seus níveis mais altos.
Para calcular a magnitude dos fatores e suas interações, nosso aluno construiu a Tabela
4.2, uma tabela de sinais. O sinal positivo ( + ) indica que o fator está no seu nível mais alto e o sinal negativo ( – ) significa que o fator está em seu nível mais baixo. Os sinais dos termos de interação são obtidos pelo produto algébrico dos sinais dos fatores envolvidos na interação. Para a combinação (l), o sinal do termo de interação dos fatores A e B, AB, por exemplo, é o produto do sinal ( – ) do fator A e do sinal ( – ) do fator (B),
isto é, ( + ). O leitor pode verificar na Tabela 4.2 que o sinal da interação BC para a combinação ab é ( – ) e que o sinal da interação tripla ABC para a combinação ac também é ( – ), o produto de ( + ), ( – ) e ( + ).
Nosso aluno usou a Tabela 4.2 para calcular os efeitos dos fatores e das interações. O
efeito do fator A (a altura da chama) foi calculado pela subtração da média das respostas
obtidas no nível mais baixo da média das respostas obtidas no nível mais alto. A Tabela
4.2 mostra que o efeito do fator A usando as combinações codificadas é
Assim, nosso aluno obteve
O efeito do fator B (a corrente da lâmpada) foi calculado de forma semelhante.
Tabela 4.1 Tabela de níveis
Nível baixo da Nível alto da razão de razão de combustível combustível
Corrente da Chama = 15 mm Chama 25 mm Chama = 15 mm Chama = 25 mm
lâmpada
2mA (l)54 a 28 c 69 ac 52
3mA b 50 ab 23 bc 63 abc 47
Tabela 4.2 Tabela de sinais
Combinação Fatores e interações Resposta (absorbância
de X 100)
tratamentos
A B AB C AC BC ABC
(I) – – + – + + – 54
a + – – – – + + 28
b – + – – + – + 50
ab + + + – – – – 23
c – – + + – – + 69
c – – + + – – + 52
bc – + – + + – – 63
abc + + + + + + + 47