Vogel: Análise Química Quantitativa
4.27 Método de Yates
Usando a Tabela 4.2, nosso aluno pôde confirmar que o efeito do fator C (a razão do combustível) é 19 e que o efeito da interação BC é 0,5.
A constatação de que os fatores podem interagir é a observação mais importante deste capítulo.
4.27 Método de Yates
Uma forma mais elegante de calcular o efeito dos fatores e suas interações é o método de Yates. Nosso aluno usou este método e listou as combinações de forma sistemática na
Tabela 4.3. Ele colocou a resposta (absorbância) de cada combinação na coluna “Resposta”. A coluna (i) é derivada da coluna de respostas. Ele obteve o valor da primeira linha somando os dois primeiros valores de absorbância da coluna de respostas (54 + 28), o da segunda, somando o segundo par de absorbâncias (50 + 23) e os terceiro e quarto valores somando os terceiro e quarto pares, respectivamente, isto é, (69 + 52) e (63 + 47). Assim, ele completou a metade superior da coluna (i). A metade inferior também é derivada da coluna de respostas, porém agora ele tomou a diferença entre os mesmos pares de respostas, o segundo menos o primeiro, em todos os casos. Assim, o primeiro valor da metade inferior da coluna (i) é (28 – 54), o segundo (23 – 50), o terceiro (52 – 69) e o quarto (47 – 63). A coluna (ii) foi obtida da mesma forma, por soma e subtração dos pares de valores da coluna (i). A coluna (iii) foi derivada da coluna (ii) pelo mesmo procedimento.
Nota O número de operações de soma e subtração é igual ao número de fatores.
A soma dos quadrados pode ser calculada a partir dos efeitos estimados usando a expressão
onde N é o número total de experimentos (neste caso 16 porque cada combinação foi medida duas vezes). Assim,
Nota Confirme os cálculos de Yates, verificando se o valor superior da coluna (iii) (386) é igual à soma dos valores da coluna de respostas (386).
Os resultados da coluna (iii) mostraram a nosso aluno que o fator A (a altura da chama) é o fator mais importante, seguido pelo fator C (a razão de combustível). O fator B (a corrente da lâmpada) e a interação AC podem ser significativos (veja mais adiante).
Nosso aluno chegou à conclusão de que os valores negativos dos efeitos dos fatores A
e B mostram que a resposta diminui quando estes fatores passam do nível mais baixo para o mais alto. O valor positivo do fator C indica que a resposta aumenta quando ele passa do nível mais baixo para o mais alto. Estes resultados sugeriram ao aluno que ele deveria trabalhar com altura baixa da chama, corrente baixa da lâmpada e razão alta de combustível (combinação c). Pode-se ver que é este o caso: a combinação c tem a maior resposta (69).
Tabela 4.3 Método de Yates
Combinação Soma dos
de quadrados
tratamentos (média
Resposta (i) (ii) (iii) quadrática)
nenhuma 54 82 151 386 = total
a 28 73 231 –86 = 4A 1849
b 50 121 –53 –20 = 4B 50
ab 23 110 –33 0 = 4 AB 0
c 69 –26 –9 76 = 4C 1444
ac 52 –27 –11 20 = 4AC 100
bc 63 –17 –11 –2 = 4BC 1
abc 47 –16 1 –2 = 4ABC 1
Total 386
Tabela 4.4 Valores das análises repetidas
Combinação de Médias quadráticas, da
tratamentos (i) (ii) (iii) = (i) + (ii) Tabela 4.3
nenhuma 53 55 108
a 27 28 55 A = 1849
b 49 51 100 B = 100
ab 23 22 45 AB = 0
c 70 68 138 C = 1444
ac 51 53 104 AC = 100
bc 63 63 126 BC = 1
abc 48 46 94 ABC = 1
A soma dos quadrados pode dar uma estimativa dos fatores e interações significativas.
Compara-se a variância com a variância residual. Quando se executam medidas repetidas em um planejamento fatorial, a variância residual pode ser calculada pelo método
descrito a seguir. Nas colunas (i) e (ii) da Tabela 4.4 estão os valores de cada experimento repetido do Exemplo 4.16.
A variância residual é a soma dos quadrados de cada um dos valores da coluna (i) e
dos quadrados de cada um dos valores da coluna (ii) menos a soma dos quadrados de cada um dos valores da coluna (iii) dividida pelo número de repetições em cada combinação (neste caso, 2). Assim, a variância residual é
53 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 55 + 28 + 28 + 49 + 51 + . . . + 64 + 63 + 48 + 46 – (108 2 2 2 2 2 + 55 – 1OO + . . . + 126 + 94) = 40654 – (81286) = 11